Una función idempotente $\mathbb R \to \mathbb R$

Question

Ayer hice un examen y esta era una de las preguntas. No tuve suficiente tiempo para responderla completamente, así que me pregunto cuál es la solución:

Dejemos que $f: \mathbb R \to \mathbb R$ sea una función continua con $f \circ f = f$ . Mostrar:

1. La imagen de $f$ es un intervalo cerrado (por supuesto, puede ser ilimitado).
2. Si $f$ es diferenciable entonces es la identidad o una función constante.

Sé que si $f$ es diferenciable, entonces por la regla de la cadena: $$f'(x) = (f \circ f)'(x) = f'(x)\cdot f'(f(x)). $$ Eso implica $f'(x) = 0$ o $f'(f(x)) = 1$ pero puede ser diferente dependiendo de $x$ .

Answer 1

Respuesta a 1.

Una función continua es tal que dada una secuencia cualquiera $(x_n)$ tal que $x_n\to x$ entonces $f(x_n)\to f(x)$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que si $f$ toma dos valores $f(x_1), f(x_2)$ Debido a la teorema del valor intermedio debe tomar todos los valores intermedios. Esto significa que la imagen es un intervalo con puntos finales posiblemente infinitos.

Para ver por qué el intervalo es cerrado, supongamos que $y$ es un punto límite de la imagen, es decir, existe una secuencia de valores $f(x_n)$ que converge a $y$ . La continuidad de $f$ implica $f(f(x_n))\to f(y)$ para que $f(x_n)\to f(y)$ por idempotencia. Como el límite es único, esto significa que $f(y)=y$ para que $y$ es parte de la imagen.

Esto demuestra que la imagen es un intervalo cerrado. Creo que los puntos finales infinitos deben ser permitidos, tomemos por ejemplo $f$ para ser la función de identidad: entonces la imagen es $\mathbb (- \infty,\infty)$ .

Respuesta a la 2.

Su resultado dice que en cada punto $x$ , ya sea $$f'(x) = 0 \text{ or } f'(f(x)) = 1. \label{a}\tag{1}$$ Evaluando esta última afirmación en $y = f(x)$ y aplicando la idempotencia, obtenemos que $f'(y) = 0$ o $f'(y) = 1$ en cada punto $y$ a imagen y semejanza de $f$ .

Por la parte 1, sabemos que la imagen $I$ debe ser un intervalo cerrado.

Si $I$ contiene sólo un punto, entonces $f$ es una constante. En caso contrario, sabemos que $I$ es un intervalo propio, y $f | _I$ es una constante o la identidad en virtud de Teorema de Darboux siguiendo Respuesta de Emanuele Paolini (ya que ninguna otra función lineal es idempotente).

Podemos descartar fácilmente el caso de que $f|_I$ es una constante. Esto implicaría $f'(f(x)) = 0$ para todos $x$ y así, por $\ref{a}$ , $f'(x) = 0$ para todos $x$ y $I$ se reduce a un punto.

Si $f|_I$ es la identidad, argumentaremos que $I = \mathbb R$ . Supongamos que la imagen de $f$ tiene un final a la derecha, $b$ . Entonces $b$ es el valor máximo de $f$ . Tomando el límite de la izquierda como $x \to b$ encontramos que $f(b) = b$ es decir, toma su valor máximo en $x=b$ , lo que implica $f'(b) = 0$ por el teorema del valor extremo . Sin embargo, $f'(b) = 1$ tomando el límite por la izquierda, una contradicción. El argumento es análogo para un límite inferior $a$ . Así, $I=\mathbb R$ y $f$ es la identidad.

Answer 2

Una función diferenciable cuya derivada es 0 o 1 tiene derivada constante, en vista de la propiedad de Darboux: si la derivada tiene valor 0 y 1 entonces tiene también todos los valores intermedios.

Answer 3

Ahora tengo lo siguiente para el caso de que $f$ es diferenciable y suryente:

Tome un $x \in \mathbb R$ . Se puede escribir como $f(y)$ . Entonces, o bien $f'(x)=0$ o $f'(f(x)) = f'(x) = 1$ . Debido a la propiedad de Darboux, sólo una de ellas puede valer para todos los $x$ a la vez. $f'(x)=0$ es imposible porque entonces $f$ sería constante y no sobreyectiva. Así que debe ser $f'(x)=1$ es decir $f(x)=x+c$ . Por idempotencia $c=0$ .