¿Preocupa a matemáticos profesionales con infinitamente muchas opciones dependiendo la formalización?

Question

Me he dado cuenta de ciertos argumentos en el análisis de los libros de texto que se basan en el principio de que es capaz de recoger elementos infinitamente muchas veces. Por ejemplo, un argumento puede ir a "Recoger" $x_1\in S$ tal que $P(x_1)$. De haber recolectado $x_1,x_2,\dots,x_k\in S$, pick $x_{k+1}$ tal que $P(x_{k+1})$. Esto justifica la existencia de una secuencia en $S$ tener propiedades X, y y z". Pero esto no es del todo inducción; esta es también la recursividad (y en algunos casos de CA se utiliza). Y el teorema de recursión/AC están totalmente ausentes en la mayoría de los libros de texto. Entonces, ¿cómo es este argumento matemático justificado? ¿Por qué no el escritor importa ser explícito con los principios que se utilizan?

Cuando yo era un estudiante, esto me dio la ansiedad.

Answer 1

Esto es, básicamente, un largo comentario: La cosa es que cuando se construye secuencias en la manera que usted describe ("de Haber recolectado $x_1,x_2,\ldots,x_n\in S$, pick $x_{k+1}$,...") es mucho más sencillo de entender que tratando de hacer de cada instrucción formal. Básicamente estamos utilizando el siguiente teorema (o alguna variante conveniente):

"Vamos a $P(F)$ ser una propiedad sobre secuencias finitas. Supongamos que existe $x$ tal que $P(x)$ mantiene y tal que para cada secuencia finita $(x_1,\ldots,x_k)$ que $P(x_1,\ldots,x_k)$ sostiene, existe $y$ que $P(x_1,\ldots,x_k,y)$ mantiene. Entonces existe una secuencia infinita $(x_1,x_2,\ldots)$ que $P(x_1,\ldots,x_k)$ es válido para cada $k$".

La prueba de esto puede ser a la izquierda como un ejercicio para cualquier persona que es lo suficientemente avanzado como para preocuparse por esto, y por lo que yo sé, depende del Axioma de Elección. Se puede hacer de la siguiente manera (sin referencia): Decir que estamos trabajando con números reales. Recordemos que una secuencia finita es simplemente una función de $f:\left\{1,\ldots,N\right\}\to\mathbb{R}$, y una secuencia infinita es una función de $f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$.

Deje $\mathcal{P}$ el conjunto finito o infinito de secuencias de $f:dom(f)\to \mathbb{R}$ de las que, para cada $N\in A$ $P(f(1),\ldots,f(N))$ es cierto. A continuación, $\mathcal{P}$ es no vacío ($\mathcal{P}$ contiene una secuencia singleton, por hipótesis). Tenemos que mostrar que $\mathcal{P}$ tiene alguna secuencia infinita. El fin de $\mathcal{P}$, por extensión, de las funciones/inclusión de los gráficos: $f\leq g$ fib $dom(f)\subseteq dom(g)$$g|_{dom(f)}=f$. Mostrar que cada subconjunto totalmente ordenado de $\mathcal{P}$ tiene un límite superior (ejercicio). Por lo $\mathcal{P}$ tiene un elemento maximal $f$ por el Lema de Zorn/Axioma de Elección. Mostrar que $f$ es una secuencia infinita (ejercicio). Hemos terminado. QED

Esta es una de las cosas que algunas personas llamarían "parte del folclore". Algo que, básicamente, todo el mundo sabe pero nadie se tomó el tiempo para escribir o realmente se preocupan por los detalles.

Answer 2

Tiendo a estar en desacuerdo con Luis Cordeiro la respuesta.

Creo que la verdadera razón por la que parece que "a nadie le importa" acerca de este tipo de cosas es porque el actual sistema de recompensas e incentivos en los profesionales de las matemáticas tienden a conferir una ventaja sobre un tipo de matemático en la costa de los demás.

Permite distinguir dos tipos de matemáticos:

• Escriba Una matemáticos son pragmática; se centran en el desarrollo de nuevas técnicas y la maquinaria, y, sobre todo, en la resolución de problemas. "Hacer el trabajo", sino que también cometen más errores y publicar más resultados falsos, debido a un menor énfasis en la formalización y rigor.

• Tipo B matemáticos son idealistas; están interesados principalmente interesado en rigor, claridad de pensamiento, y de la consolidación, la formalización y la unificación del material existente. Ellos no producen como muchos de los nuevos resultados como Un Tipo de los matemáticos, sino que lo que producen es muy cuidada, y más probabilidades de resistir la prueba del tiempo.

Por supuesto, esto es una simplificación excesiva: voy a llegar a eso. Pero en este punto, quiero tratar de responder a tu pregunta. Mi opinión es que el actual sistema de recompensas e incentivos confiere una ventaja sobre Un Tipo de matemáticos, a expensas de Tipo B matemáticos. Por ejemplo, Escriba a estudiantes universitarios tienden a aprender el material más rápido, porque están más abiertos a hacer las cosas de la profesora, que ellos consideran "lo suficientemente riguroso." Por otro lado, el Tipo B de los estudiantes de pregrado de tomar más tiempo para aprender el material, debido a que pelean con uñas y dientes, pasar un montón de tiempo (con razón o sin ella) tratando de arreglar lo que se percibe como la mitad del horno argumentos, y esto hace que su marca global más bajo. Sin embargo, estos mismos estudiantes, si ellos hacen lo suficiente, son los que terminan escribir que "la mierda caliente de libros de texto" que termina siendo de facto de elección en el campo, porque he pasado tanto tiempo luchando con cada pulgada del material, su comprensión de su estructura más profunda termina siendo más altamente desarrollado. Y, como he dicho, las ideas de Tipo B, los matemáticos tienen más probabilidades de resistir la prueba del tiempo.

De todos modos, cuento largo corto, creo que el Tipo que los estudiantes tienen más probabilidades de ir a convertirse en matemáticos profesionales, mientras que el Tipo B, los estudiantes son más propensos a abandonar después (o durante) de sus Amos o programas de Doctorado, y suelen albergar ningún pequeño nivel de resentimiento hacia la matemática establecimiento por este punto. Pero poniendo la psicología de un lado, mi punto es realmente de que muchos de los matemáticos de atención (o tratados) muy profundamente acerca de rigor y formalización, pero que han sido seleccionados por la "caja de filtro de selección," y esto crea la sensación de que a nadie le importa acerca de su formalización, cuando la realidad es mucho más complicada.

Tal vez esta es la razón por la que aquellas personas que han contribuido a la formalización de las matemáticas históricamente también tienden a ser muy inteligente: si usted está preocupado con la formalidad, obteniendo a través de las matemáticas filtro de selección es mucho más difícil, pero la cruda energía de cerebro sin duda puede ayudar.

Ahora, por un poco de asesoramiento. Suponiendo que usted está a Tipo B estudiante. Quieres convertirte en un exitoso Tipo B matemático, pero el sistema educativo parece estar trabajando en contra de usted. Y usted no tiene el raw ciclos de CPU de artistas como Alfred Tarski y Kurt Gödel. Sin embargo, mi pensamiento es que usted todavía puede tener éxito. La cosa es que el tipo a/Tipo B distinción una simplificación excesiva. Hay un término medio, ocupados por personas que yo llamaría "teoría de los constructores." Estos chicos sin duda la atención acerca de rigor, pero no permita que la incapacidad de hacer las cosas tan precisa o perfecto como les gustaría dejar de hacer su trabajo, porque son la construcción de una teoría que está destinado a ser utilizado por personas reales (generalmente de Tipo de Una matemáticos u otra teoría constructores) para resolver problemas reales, y esto les ayuda a poner su necesidad de rigor en la parte de atrás de la estufa de forma temporal, para producir documentos publicables y contribuir a las matemáticas en el corto plazo.

Mi pensamiento es que una vez que usted tiene suficiente "calle cred" desde el edificio de la teoría, puede mover más hacia la formalización/rigor lado de las cosas, porque en este momento hay menos presión para publicar. Hay un tiempo para dejar que su interior Tipo B matemático fuera de la correa, pero es necesario tener una carrera en primer lugar.

Este asesoramiento es completamente hipócrita, por el camino, porque personalmente, en mi interior Tipo B matemático bastante dicta mis pensamientos y comportamiento. Pero eso no significa que este funciona. Yo no recomiendo ser como yo; mi vida académica es mucho demasiado duro. Ser una teoría-generador de, al menos hasta que esté establecido en su campo.

Answer 3

Mathamatics los libros de texto se escriben para los seres humanos. Como tal, el autor no intenta ser explícito acerca de todo lo que sucede, pero se supone que el lector puede seguir ciertos argumentos en su propio.

Por otro lado, en el campo de automatizado de teoremas. En las pruebas se formalizan en un modo más explícito porque los ordenadores necesitan comandos explícitos. Que por lo general conduce a pruebas que son mucho más complejas que la de tu libro de matemáticas.

Answer 4

La matemática es una manera de escribir las ideas complejas que sería muy difícil pensar lógicamente sin él, así que hay algunos argumentos lógicos que pueden ser tan formal se pone. Habiendo dicho eso, la formalización es absolutamente necesario en matemáticas porque todo el concepto de la matemática se basa en entidades básicas (círculo, punto, línea recta, ...) todo el resto sigue como consecuencias de estas y otras definiciones de una manera lógica. Esto significa que una nueva teoría confiar en la veracidad de las teorías en que se basa, y se derivan de una manera lógica. Así que sí, que sí les importa, pero el proceso de pensamiento que utilizan para "pensar" la matemática es, probablemente, muy intuitiva, con la formalización de servir el mismo propósito que los experimentos en la física, que es hacer una robusta teoría, que puede ser seguro para seguir a partir de los supuestos y de las entidades utilizadas. Experimentos de pensamiento puede parecer que no es una buena práctica, sino que hacen que la comprensión de las teorías mucho más fácil, mientras que la formalización es mucho más robusto, pero puede muchas veces hacer de la comprensión y la intuición de lo que está pasando mucho más difícil. Así que supongo que ambos son necesarios, la intuición y el pensamiento de los experimentos para que puedas entender la lógica detrás de esto, y la formalización de garantizar la veracidad y la robustez necesaria para una teoría matemática. Lo siento si esto era demasiado largo o demasiado vago, pero sólo mis dos centavos aquí.