Espacios vectoriales normados y espacios de Banach.

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach con la norma $||.||$ y deje $S$ ser un no-vacío subconjunto en $X$. Deje $F_b(S,X)$ ser el espacio vectorial de $F(S,X)$ de todas las funciones $f:S \rightarrow X$ tal que $\{||f(s)||:s \in S\}$ es limitado y considerar la norma $||.||_b$ $F(S,X)$ dada por $$||f||_b = \sup \{ ||f(s)|| : s \in S\}.$$

Tengo que demostrar que $F_b(S,X)$ es un espacio de Banach. Lo que significa que tengo que demostrar que es un espacio métrico completo. Si dejo $d(f,g)=||f-g||_b$, puedo demostrar que es un espacio métrico. Sin embargo, no soy capaz de probar que cada secuencia de Cauchy en $F_b(S,X)$ convergería a algún elemento en $F_b(S,X)$.

Answer 1

Deje que$(f_n)$ sea una secuencia de Cauchy en$F_b(S,X)$.

• Para$x \in S$, muestre que$(f_n(x))$ es una secuencia de Cauchy en$X$. Por lo tanto, existe$f(x) \in X$ tal que$f_n(x) \to f(x)$.
• Muestra esa $f \in F_b(S,X)$. Sugerencia:$||f(x)|| \leq ||f(x)-f_n(x)||+||f_n(x)||$ para todos$n \geq 0$ y$x \in S$.
• Muestra que$f_n\to f$ en$F_b(S,X)$. Sugerencia: para todos los$x \in S$ y$n,m \geq 0$,$$||f_n(x)-f(x)|| \leq ||f_n(x)-f_m(x)||+||f_m(x)-f(x)||$ $