Las soluciones débiles para$\Delta u=f$ están en$W^{2,2}$

Question

Creo que la siguiente afirmación es verdadera.

Deje $\Omega$ ser una sin problemas, limitado dominio en $\mathbb{R}^{n}$.

La declaración:

Deje $u\in H^{1}(\Omega)$ , de modo que

existe $f\in L^{2}(\Omega) \;s.t.\int_{\Omega}\nabla u\nabla \varphi=\int_{\Omega} f\varphi, \forall \varphi\in H^{1}(\Omega)$.

A continuación, $u\in H^{2}(\Omega)$.

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He buscado en el libro de Evans y Brezis, pero no es tan cierto. Alguien podría proporcionar una referencia para que? Puede ser visto en Evans libro que $u\in H^{2}_{loc}(\Omega)$.

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Muchas gracias.

Answer 1

Por favor, echa un general elíptica regularidad resultado ($L^p$ versión):

Dauge, Monique. Elíptica límite de problemas de valor en la esquina dominios: la suavidad y la asymptotics de soluciones, 1988

Teorema 20.10 (junto con la explicación de la notación, por encima del teorema), esencialmente tenemos la siguiente regularidad resultado: $$ \|u\|_{H^2} \leq C \|\Delta u\|_{L^2}. $$ es decir, en su caso, $\Delta u = f$ que se implica el teorema fundamental del cálculo de variaciones. Para obtener información más específica de la versión en $L^2$ sentido, por favor, consulte Grisvard del libro Elíptica Problemas en Nonsmooth Dominios, $\S 2.3.3$, donde todo el capítulo 2 trata con soluciones débiles.

BTW: por favor, tenga cuidado con la función de prueba de que usted elija, si su función de prueba se en $H^1(\Omega)$, no en $H^1_0(\Omega)$, este es un problema de Neumann y su $u$ e $f$ debe satisfacer ciertos compatibilidad de la condición.

Answer 2

Mostrando límite de la regularidad de la Neumann problema es técnico, sino fundamentalmente no es diferente de la de Dirichlet caso. Admito que no he comprobado los datos completamente, pero los pasos principales son los siguientes (esto aproximadamente espejos de Evans, la prueba de frontera de Dirichlet regularidad, a saber, el teorema 4 de la sección 6.3):

1. Localizando sobre cada punto de la frontera, asumir nuestro dominio es la mitad de una pelota de $\widetilde\Omega = B^n_1 \cap \mathbb R^n_+$ y que $u$satisface, $$ B[u,v] = \int_{\widetilde\Omega} fv, $$ para todos los $u \in H^1(\widetilde\Omega)$ tal que $u = 0$ a $(\partial B_1^n) \cap \mathbb R^n_+,$ donde $B[\cdot,\cdot]$ es la forma bilineal asociada a algunos elíptica operador. Tenga en cuenta que $u$ satisface cero de contorno de Dirichlet en la parte curva de la frontera, y cero Neumann límite en la parte plana. También se $B[\cdot,\cdot]$ general es un operador elíptico ahora, debido a la extra términos derivados de aplanamiento del dominio.

2. La diferencia del cociente argumento como en la de contorno de Dirichlet caso, podemos deducir que $D_kDu \in L^2(\widetilde\Omega')$ para todos los $1 \leq k \leq n-1,$ donde $\widetilde\Omega' = B_{1/2}^n \cap \mathbb R^n_+.$ , La idea es probar con tangencial diferencia de cocientes, señalando que son admisibles en la prueba de nuestro espacio. Es un buen ejercicio para comprobar cosas totalmente aquí, ya verás que para justificar la misma función de prueba de obras que usted necesita para utilizar la condición de contorno.

3. El final derivado $D_{nn}u$ puede ser estimada en $L^2(\widetilde\Omega')$ mediante el uso de la ecuación, como en el caso de Dirichlet.

4. Ahora el parche usando una partición de la unidad argumento, para deducir que $u$ es de $H^2(\Omega).$

Un par de observaciones:

• El punto importante es que cuando usted localizar, ya no tiene una condición de frontera de Neumann. En lugar de tener una mezcla de condición, y a pesar de que no causa ningún tipo de complicaciones, usted debe ser consciente de esto.

• Hay ciertas condiciones que se necesitan para la ecuación de $-\Delta u = f$ con cero Neumann límite para ser resueltos, pero la regularidad, la teoría no se preocupan por ello. Esto es básicamente debido a que las condiciones necesarias son globales, mientras que la regularidad de la teoría es local.

• Tenga en cuenta que si usted mantiene un seguimiento de las estimaciones, usted será capaz de demostrar que, $$ \lVert u\rVert_{H^2(\Omega)} \leq C\left( \lVert f\rVert_{L^2(\Omega)} + \lVert u\rVert_{L^2(\Omega)}\right).$$ Mediante el uso de la Neumann límite de datos se puede obtener una estimación de la forma $\lVert u - (u)_{\Omega} \rVert_{L^2(\Omega)} \leq \lVert f\rVert_{L^2(\Omega)}$ donde $(u)_{\Omega}$ es el promedio de $u$ a $\Omega$ (dibujo: prueba de la ecuación en contra de $v = u - (u)_{\Omega}$ y aplicar la desigualdad de Poincaré en 5.8.1 de Evans).