Suma infinita del número armónico

Question

He aprendido que puedo encontrar el valor de una suma infinita.

Entonces, ¿cuál es el valor de esta suma? $$\frac12 + \left(1+\frac12\right)\frac1{2^2}+\left(1+\frac12 +\frac13\right)\frac1{2^3}+\left(1+\frac12 +\frac13 +\frac14\right)\frac1{2^4} + \cdots $$ Y quiero saber cómo encontrar el valor de la suma infinita de esta forma similar.

Answer 1

Se puede dividir esta suma en $$\left(\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\cdots\right)+\frac12\left(\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\cdots\right)+\frac13\left(\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+\cdots\right)+\cdots$$ $$\begin{align} &=\sum_{k=1}^\infty \frac1k \sum_{j=k}^\infty \frac1{2^j}\\ &=\sum_{k=1}^\infty \frac1k \left(\frac{2^{-k}}{1-2^{-1}}\right)\\ &=\sum_{k=1}^\infty \frac{2^{1-k}}k\\ &=2\sum_{k=1}^\infty \frac{\left(\frac12\right)^k}k\\ &=2\left(-\ln{\left(1-\frac12\right)}\right)\\ &\boxed{=2\ln{(2)}} \end{align}$$ Utilizando el hecho de que $$\ln{(1-x)}=-\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}k$$ para todos $|x|\lt 1$ .

De hecho, se puede utilizar un método similar para demostrar que $$\sum_{k=1}^\infty x^kH_k=\frac1{1-x}\ln{\left(\frac1{1-x}\right)}$$ para $|x|\lt1$ . En el sitio web $H_k$ es el $k$ número armónico dado por $$H_k=\sum_{n=1}^k\frac1n$$