Número de soluciones a$x_1+x_2+\cdots+x_5=41$

Question

El uso de una generación de función para contar el número de soluciones entero a $x_1+x_2+\cdots+x_5=41$ que satisfacer $0\le x_i\le20$ para todos los $i$, $x_i$ es que cuando la $i$ es aún, y $x_i$ es impar cuando $i$ es impar.

Ignorando las condiciones al final, creo que $g(x)=(1+x+x^2+\cdots+x^{20})^5$, y en la respuesta al problema es el coeficiente de $x^{41}$ en $g(x)$. Pero, como he dicho, me han hecho caso omiso de los términos, después de todo, no tengo la menor idea de cómo ir sobre la incorporación de ellos. Estoy (obviamente) le falta algo, y no me parecen llegar a ninguna parte, no importa cómo muchos ejemplos que ir a través de. Cualquier ayuda es muy apreciada!!

Answer 1

Eres una buena parte del camino. Lo que hasta ahora es de cinco copias de $1+x+\cdots+x^{20}$. Todos ellos parada en $20$ porque no $x_i$ puede ser mayor que el $20$.

La limitación de que $x_1$ sólo puede ser impar es al igual de simple. Simplemente significa que el factor de la generación de la función que corresponde a $x_1$ sólo tiene de extraño términos del grado. Así que en lugar de $1+x+x^2+\cdots + x^{20}$, consigue $x + x^3 + \cdots + x^{19}$. Hacer una cosa similar para las otras cuatro variables, y su generación de función.

Answer 2

En el escenario,

$$x_1 + x_2 + ... + x_n = r$$

donde $x_k \geq 0$ para todos los $k$, tenemos una generación de función $g$ que es un producto de $n$ polinomios $P$:

$$g(x) = P_1(x)P_2(x)...P_n(x)$$

Cada uno de estos $P_k(x)$ está definido por las restricciones en la $x_k$. Cada una de las $P_k$ será una suma de potencias de $x$, donde cada exponente de una $x$ plazo es un valor válido de $x_k$ puede tomar en la ecuación anterior. Algunos ejemplos son prudentes:

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Ejemplo de $\#1$: queremos encontrar el número de número entero no negativo soluciones a $$x_1 + x_2 + x_3 = 10$$ donde $x_i \geq 0$ para todos los $i$

Este es el escenario que parecen estar bien con: efectivamente no hay restricciones. Aunque se debe señalar que hay un implícito máximo de $10$ aquí para cada una de las $x_k$: como lidiar con los más de ellos, vas a saber si el uso de $0 \le x_k \le 10$ o, simplemente, $0 \le x_k$ (y por lo tanto el uso de una infinita suma). Yo no bog nosotros abajo en los detalles aquí sobre cuál usar, y simplemente asumir finito de sumas.

Aquí, desde $x_k$ puede $0,1,...,10$, a continuación, cada una de las $P_k$ polinomios son

$$P_k(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^10$$

(Aviso: $x^0 = 1$.) A continuación, la generación de la función es el producto de $P_1,P_2,P_3$ - que son todos de la misma y así darle el cubo de los de arriba.

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Ejemplo de $\#2$: queremos encontrar el número de número entero no negativo soluciones a $$x_1 + x_2 + x_3 = 10$$ donde $x_i \geq 0$ para todos los $i$, e $x_i$ debe ser par.

En este escenario, los valores permitidos para $x_i$ han cambiado. Ahora no podemos tener valores impares! Por lo tanto, $x_k$ debe $0,2,4,6,8,$ o $10$ para todos los $k$. Ya que estos son los valores permitidos, vemos que

$$P_1(x) = P_2(x) = P_3(x) = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + x^{10}$$

De nuevo, tenga en cuenta cómo los exponentes (cuando $1 = x^0$) corresponden a los valores permitidos para $x_k$!

De nuevo en este caso, $P_1 = P_2 = P_3$, lo $g$ es sólo el cubo de uno de ellos.

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Ejemplo de $\#3$: queremos encontrar el número de número entero no negativo soluciones a $$x_1 + x_2 + x_3 = 10$$ donde $x_i \geq 0$ para todos los $i$. Además, $x_1$ debe ser, incluso, $x_2$ debe ser un primo, y $x_3$ debe ser un cuadrado perfecto.

Ahora tienen condiciones diferentes para los tres números! Pero esto es todavía factible! Primero nos individualmente ver cuáles son los valores permitidos por la variable. En la investigación...

• $x_1$ puede $0,2,4,6,8,10$
• $x_2$ puede $2,3,5,7$
• $x_3$ puede $0,1,4,9$

Con esto en mente, podemos construir los polinomios uno por uno. De nuevo, los exponentes son el permissibile poderes de la correspondiente sumando, con $x_i^0 = 1$. Luego vemos

• $P_1(x) = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + x^{10}$
• $P_2(x) = x^2 + x^3 + x^7 + x^9$
• $P_3(x) = 1 + x + x^4 + x^9$

Nuestra generación de función, $g(x)$, esta vez no es un cubo, sino simplemente el producto

$$g(x) = P_1(x)P_2(x)P_3(x)$$

Si uno quería escribir explícitamente que podría sin ningún problema, basta con sustituir en las expresiones de las balas.

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Con esto en mente, consideremos ahora el escenario:

$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 41$$

donde, por $k = 1,2,...,5$,

• $x_k \ge 0$
• $x_k \le 20$
• $x_k$ es aún incluso para $k$
• $x_k$ es extraño extraño $k$

Podemos traducir esto en los conjuntos de valores permisibles. Tenga en cuenta que no podemos ir más alto que el de $41$ necesariamente para cualquier valor. Si quieres, creo que este es el tipo de ecuación que permitiría una infinita suma en lugar de finito - y si usted está familiarizado con eso, el trabajo es lo suficientemente similar que usted debería ser capaz de analogía.

En cualquier caso, el conjunto de valores permitidos:

• $x_2,x_4$ puede $0,2,4,6,...,20$
• $x_1,x_3,x_5$ puede $1,3,5,7,...,19$

A continuación, los correspondientes polinomios son? De nuevo hemos de construir basando los exponentes en los valores permitidos:

$$\begin{align} P_1(x) = P_3(x) = P_5(x) &= x + x^3 + x^5 + x^7 + ... + x^{19}\\ P_2(x) = P_4(x) &= 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^{20} \end{align}$$

y, a continuación, $g(x) = P_1(x)P_2(x)P_3(x)P_4(x)P_5(x)$.