No entiendo cómo la hipótesis del continuo puede ser indecidible

Question

He estado pensando en lo que significa que la hipótesis del continuo sea indecidible.

En resumen, esto es lo que yo entiendo

$\aleph_{0}$ es la cardinalidad del conjunto de enteros.

$\aleph_{1}$ es la cardinalidad del menor conjunto mayor que $\aleph_{0}$

Según la hipótesis del continuum, $2^{\aleph_{0}}=\aleph_{1}$

Ahora bien, he aquí por qué no lo entiendo:

Supongamos que existe algún conjunto S que es mayor que $\aleph_{0}$ pero más pequeño que $2^{\aleph_{0}}$

Entonces, será fácil demostrar mediante el argumento diagonal de Cantor que S viola las hipótesis. Por lo tanto, si la hipótesis del continuo es falsa, debe ser demostrablemente falsa.

Esto es imposible si asumimos que la hipótesis del continuo es indecidible, ya que significa que la verdad de la hipótesis del continuo es consistente con ZFC, y por lo tanto no puede ser probadamente falsa.

Por lo tanto, como si fuera falsa sería PROBABLEMENTE falsa, lo cual es imposible, la hipótesis del continuo es verdadera.

¿Hay algún problema con este razonamiento? ¿He tropezado con mi propio argumento, o no hay ninguna razón para suponer que es probadamente falso? Por favor, explíquelo.

Answer 1

Su error, por supuesto, es que la falsedad de la CH no tiene por qué implicar que sea es falsa, se ha demostrado que .

Sí, si la CH es falsa, hay alguna $S\subseteq\Bbb R$ tal que $\aleph_0<|S|=\aleph_1<2^{\aleph_0}$ . Pero en diferentes modelos de ZFC esta $S$ puede ser muy diferente. No es necesariamente que la misma definición siempre funciona como un contraejemplo de la CH.

De hecho, en algunos modelos podría ser que ningún conjunto definible de reales sea un contraejemplo de la CH, pero la CH falla de todos modos.