Cómo mostrar que la matriz dada tiene un determinante distinto de cero

Question

Dado $p,q$ a ser primos donde $p<q$ .

Demostrar que el siguiente marix no tiene determinante cero, \begin{bmatrix} 1&2 & 2 & 2 &\dotso & 2\\ 2&q-p+1 & 1 & 1 &\dotso & 1\\ 2& 1 & q-p+1 & 1 & \dotso & 1\\2&1 & 1 & q-p+1 &\dotso & 1 \\ \dotso &\dotso & \dotso & \dotso & \dotso \\ \dotso & \dotso & \dotso & \dotso & \dotso \\ \dotso & \dotso & \dotso & \dotso &\dotso \\2&1 &1 &1 &\dotso & q-p+1 \end{bmatrix}

Yo soy capaz de demostrar que la submatriz de la matriz \begin{bmatrix}q-p+1 & 1 & 1 & 1 & \dotso & 1\\ 1 &q-p+1& 1 &\dotso & \dotso &1 \\ \dotso &\dotso & \dotso & \dotso & \dotso \\ \dotso & \dotso & \dotso & \dotso & \dotso \\ \dotso & \dotso & \dotso & \dotso &\dotso \\1 &1 &1 &\dotso & \dotso &q-p+1\end{bmatrix}

tiene determinante distinto de cero.

Cómo puedo demostrar que el original de la matriz tiene determinante distinto de cero?

He intentado utilizar de Laplace de Expansión, pero no recibir nada. Por favor, ayudar.

Answer 1

Si se restan los $2$-a veces la primera fila de todas las demás filas, luego vemos que el determinante de la matriz completa es igual al determinante de una matriz diagonal con entradas de $q-p-3$ y entradas fuera de la diagonal $-3$. Esta matriz puede ser escrito como $$ (q-p)I - 3 E, $$ donde $E$ es la matriz con todas las entradas. La matriz de $E$ de la dimensión de $(n-1)\times (n-1)$ tiene los autovalores $n-1$ (multiplicidad 1) y $0$ (multiplicidad $n-2$). Por lo tanto la matriz de $(q-p)I - 3 E$ tiene los autovalores $q-p-3n$ e $q-p$ con multiplicidades. Por lo tanto el determinante de la original $n\times n$ de la matriz como el producto de los autovalores es $$ \det = (q-p-3(n-1))(q-p)^{n-2}. $$ Esta matriz es singular, por ejemplo, $n=2$, $p=2$, $q=5$, donde la matriz es igual a $\pmatrix{1&2\\2& q-p+1}=\pmatrix{1&2\\2& 4}$