Expresión para "difusividad rotacional"; ¿Orientación aleatoria a pie de partículas delgadas como varillas?

Question

A partir de esta respuesta y a partir de la ecuación de Stokes-Einstein la difusividad de una partícula de radio $R$ en un fluido de viscosidad $\eta$ es

$$D=\frac{k_B T}{6 \pi \eta R}$$

donde $\xi=6 \pi \eta R$ es un coeficiente de fricción de Stokes, de la ley de forma tal que por la velocidad de $v$ el viscoso de la fuerza de arrastre es

$$F_D=\xi v.$$

La difusión en 1 dimensión, entonces sería dado como

$$\langle x^2\rangle = 2Dt. $$

Como se sugiere en esta respuesta a esa pregunta, la difusividad es generalmente tan fuertemente limitada por la fuerza de arrastre que no dependen en gran medida de la densidad de la partícula.

Pregunta: ¿hay una orientación analógica a la posición de la difusión? Por ejemplo, si la partícula muy fina varilla, sería la dirección de su eje se mueven en un paseo aleatorio tipo de proceso? Si es así, hay un análogo de la orientación de la difusividad, quizás algo como $D_{rot}$ donde $\langle\theta^2\rangle = 2D_{rot}t$ basado en la longitud de la varilla fina y de igual manera independiente de la densidad de las partículas?

actualización: Como se señaló por @KyleKanos existe, de hecho, el concepto de "rotación de la difusividad". Esta pregunta se menciona que para una partícula esférica:

$$D_{rot} \approx \frac{k_B T}{\zeta_f} \approx \frac{k_B T}{(8 \pi \eta)(r)^3}$$

y @KyleKanos la respuesta comienza a describir cómo puede ser utilizado.

Lo que estoy buscando aquí es $D_{rot}$ por una larga varilla fina.

Answer 1

Difusión de rotación fue resuelto por Edwardes / Perrin / Langevin en sus tiempos. Normalmente está hecho de partículas de forma Elipsoide, ya que es más fácil para resolver analitycally. Una larga y delgada elipsoide es su barra. Tratar de Google "elipsoide movimiento browniano". El modelo es para macroscópica partículas inmersas en un fluido viscoso, pero debería funcionar también para largas moléculas en un gas.

La solución, delgada elipsoide de eje $a$ (aproximadamente equivalente a $2a$ varilla) y (pequeño) de radio $b$:

$D = \frac{kT}{C_r} $

Donde $C_r$ es la fricción para el elipsoide de rotación en el líquido; para nuestro varilla fina,

$ C_r \simeq \frac{16 \pi \eta}{3 P_r} $

Donde, de nuevo, el $P_r$ es una integral elíptica que representan el tamaño de la partícula, en el momento en que yo no administrar a calcular:

$ P_r = \int ^{\infty} _0 \frac{dx}{(a^2 +x)^{\frac{3}{2}} (b^2 + s) } $

Toda esta discusión de trabajo para la orientación, el alcalde del eje de una barra fina (rotación alrededor de los dos ejes perpendiculares); si la partícula tiene un extraño la forma, supongo que debe considerar todos los componentes y los tensores.

Aquí un poco de papel donde el modelo si debatido en inglés: Papel de Wegener et al, general elipsoide no siempre .. Koening, el movimiento Browniano de un elipsoide Y el libro de La ecuación de Langevin por Coffey tiene un capítulo. Wikipedia Perrin, los factores de fricción