El número de elementos en un conjunto de matrices con algunas propiedades.

Question

Dado $M$ compuesto de $n\times n$ matrices, que satisface

1. $I_n \in M$ e $0_{n} \not\in M$
2. Si $A,B \in M$, a continuación, $AB \in M$ o $-AB \in M$
3. Si $A,B \in M$, a continuación, $AB = BA$ o $AB = -BA$
4. Si $A\in M$ e $A\ne I_n$, entonces existe $B \in M$ tal que $AB=-BA$

Demostrar que el número de elementos en $M$ en menos de $2 n^2$.

Algunos pensamientos

Para la condición 4 , podemos decir que el correspondiente $B\ne I_n,A$.

Porque si $B=I_n$ , obtenemos $A=0$ , una contradicción.

Si $B= A$ entonces $AB=0$ , lo que contradice la condición 2.

Por lo tanto, podemos considerar a $M$ como el conjunto de pares $(A,B)$.

Pero, ¿cómo seguir? Cualquier sugerencias? Gracias de antemano!

Agregó

Es fácil ver que para todos los $A \in M$, $A^2$ e $-A^2$ conmuta con todas las matrices en $M$.

Así, a partir de las condiciones 2 y 4 obtenemos $A^2 = I$ o $-I$, lo que podría ayudar.

Answer 1

Le mostré a mi asesor de esto, y él vino para arriba con el siguiente argumento.

Primero supongo que usted está trabajando más de $\mathbb{C}$.

Deje $G:=M\cup -M = \{A\in M_n(\mathbb{C}) : \pm A \in M\}$. A continuación, $G$ es un grupo: claramente, es cerrado bajo la multiplicación, por lo que sólo tiene que demostrar que es cerrado bajo la recíproca. Si $A\in G$ a continuación, se puede demostrar que los $A^2\in G$ conmutan con todos los elementos de a$M$ y, por tanto, $A^2=\pm I$ ya que de lo contrario podríamos encontrar un elemento en $M$ que skew-los desplazamientos con ella. Por lo tanto $G$ es un grupo y cada elemento de a$G$ tiene plaza de $\pm I$.

Ahora vamos a $A$ denotar la $\mathbb{C}$útil de los elementos de $G$ en $M_n(\mathbb{C})$. Entonces por el teorema de Maschke, $A\cong \prod_{i=1}^d M_{n_i}(\mathbb{C})$ con $\sum n_i = n$. Ahora desde $\sum 2n_i^2 \le 2n^2$, y viendo las proyecciones y el uso de la inducción, es suficiente con considerar el caso cuando se $A=M_n(\mathbb{C})$. En este caso, existe una base $A_1,\ldots ,A_{n^2}$ de $M_n(\mathbb{C})$ compuesto de elementos de $G$.

Reclamo: si $X\in G$ no $\pm I$ entonces $X$ tiene traza cero.

Prueba: Esto puede observarse teniendo en cuenta que hay algunos $Y$ en $G$ con $XY=-YX$ y desde $Y$ es invertible, esto le da a ese $X$ es similar a $-X$. QED

Para acabar con ella, pretendemos que $G$ debe ser igual a $S=\{\pm A_1,\ldots ,\pm A_{n^2}\}$ y por lo que tiene de tamaño en la mayoría de las $2n^2$. Si no, hay algunos $X\in G$ que no está en $S$. A continuación, $XA_i \neq \pm I$ para $i=1,\ldots, n^2$ desde $A_i^{-1}=\pm A_i$ e lo ${\rm Tr}(XA_i)=0$ para $1\le i\le n^2$. Pero desde la $A_i$ span $M_n(\mathbb{C})$ que le da ese ${\rm Tr}(XY)=0$ para todas las matrices $Y$ e lo $X=0$, una contradicción, ya que $X$ es de $G$. Así que hemos terminado.