¿Por qué no hay ningún "Triernions"?

Question

Puesto que hay números complejos (2 dimensiones) y quaternions (4 dimensiones), se deduce intuitivamente que debería haber algo en medio para 3 dimensiones ("triernions").

Sin embargo no se utiliza. ¿Por qué es esto?

Answer 1

Es porque no hay uno! (De hecho, Hamilton fue originalmente la búsqueda para tal cosa, y encontrar los cuaterniones lugar; fue sólo después de que la gente entiende por qué él no había tenido éxito, inicialmente.)

Los cuaterniones - junto con los números reales y los números complejos - tener un número de propiedades atractivas: en concreto, se forma una división real de álgebra. Este es un bocado, pero básicamente equivale a:

• Adición o multiplicación de los cuaterniones satisfacer los axiomas de anillo.

• Podemos dividir por cuaterniones.

• Podemos multiplicar una cuádrupla por un real (y este "producto escalar" satisface las propiedades básicas que debe).

Resulta que la única finito-dimensional real de la división de álgebras son $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, y los cuaterniones; ver esto. (Yo incluyen la asociatividad en la definición de álgebra: si se permite a los no-álgebras asociativas, entonces el octonions también cuentan.)

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Por cierto, hay una manera de (tipo de) mantener pasando por los cuaterniones: el de Cayley-Dickson construcción. Esto produce cosas como la octonions y la sedenions, y otros deliciosamente extraño estructuras algebraicas. Sin embargo, tiene un par de inconvenientes:

• Cada vez que se aplique de Cayley-Dickson, la dimensión de la partida de álgebra dobles. Así que esto no nos ayudará a llegar a $3$.

• También, usted pierde la amabilidad de propiedades. Pasando de los reales a los números complejos, se pierde el orden, pasando de los complejos a los cuaterniones, perdemos la conmutatividad de la multiplicación. Si seguimos adelante, perdemos la asociatividad de la multiplicación, en el aumento de grados: el sedenions son aún menos asociativa de la octonions, etc.

Answer 2

Suponga $A$ ser un tres dimensiones (asociativa) álgebra $\mathbb{R}$. Podemos suponer $\mathbb{R}$ está incrustado en $A$. Si $a\in A$, $a\notin\mathbb{R}$ el mapa $l_a\colon A\to A$, $l_a(x)=ax$, es un endomorfismo de $A$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$.

Deje $\lambda$ ser un verdadero autovalor de a $l_a$, con autovector $b\ne0$, lo $ab=\lambda b$. Un autovalor existe, debido a que el polinomio característico de a $l_a$ tiene el grado $3$. A continuación,$(a-\lambda)b=0$. Tenga en cuenta que $a-\lambda\ne0$, lo $A$ tiene divisores de cero, en particular, $A$ no es una división de álgebra.

Es un poco más complicado que muestran que un finito-dimensional de la división de álgebra $\mathbb{R}$ sólo puede tener dimensión $1$, $2$ o $4$ y es isomorphich a $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ o $\mathbb{H}$ (los cuaterniones); esto se conoce como Frobenius teorema.

Por otro lado, tres dimensiones álgebras de más de $\mathbb{R}$ existen (pero que tiene divisores de cero, como se muestra arriba). Un ejemplo sencillo es $\mathbb{R}[X]/(X^3-1)$, pero pueden ser no conmutativa así.

Answer 3

Existe un álgebra de dimensión 6, a medio camino entre 4 y 8, que no es un álgebra de división pero correctamente interpola varias construcciones.

http://arXiv.org/ABS/Math/0411428

No se sabe nada como para sentarse de dimensión 3 entre 2 y 4.

Answer 4

Lo más cercano a triterniums sería la estructura $[\mathbb R^3, +, \times]$ donde $``\times"$ representa el producto cruzado

$$(a_1 \mathbf i + b_1 \mathbf j + c_1 \mathbf k) \times (a_2 \mathbf b_2 \mathbf j + c_2 \mathbf k) = \left| \begin{matrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ \end{matriz} \right|$$

Distribuye en $``+"$,

es conmutativa, anti

y no es sociable pero $[a \times (b \times c)] + [b \times (c \times a)] + [c \times (a \times b)] = 0$

Answer 5

¿Conoces el teorema de Frobenius?

https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_theorem _(real_division_algebras)

Triernions no es una álgebra sociable de la división.