Deje $X$ ser una normativa espacio y $Y$ lineal subespacio de $X$. Definimos $$Y^{\perp}=\{f\in X^*: f(y)=0, \; \forall y\in Y\}$$ y $$\|f\|_Y=\sup\{|f(y)|: y\in Y, \; \|y\|=1\}.$$ Demostrar que $$\|f\|_Y=\inf\{\|f-g\|: g\in Y^{\perp}\}$$
En primer lugar, dada $f\in X^*\backslash Y^\perp$, entonces para cualquier $g\in Y^\perp$ obtenemos que \begin{equation*} \begin{split} \|f-g\|&=\sup\{|f(x)-g(x)|: x\in X, \; \|x\|=1\}\\ &\geq\sup\{|f(y)+g(y)|: y\in Y, \; \|y\|=1\} \\ &= \sup\{|f(y)|: y\in Y, \; \|y\|=1\}\\ &=\|f\|_Y \end{split} \end{ecuación*} Como $g\in Y^\perp$ fue arbitraria, nos encontramos con que $$\|f\|_Y\leq\inf\{\|f-g\|: g\in Y^{\perp}\}$$ ¿Cómo puedo demostrar que el otro la desigualdad?
