Extensiones de campo con $\sqrt{2}$

Question

Si ya tengo un campo $\mathbb{K} = \mathbb{Q}(\theta)$ donde $\theta$ es la raíz de un polinomio cúbico irreducible, entonces qué extensión de campo es necesaria para acceder a elementos de la forma $\theta ( \theta + \sqrt{2})$ . Mi opinión es que necesitamos $\mathbb{K}(\sqrt{2})$ pero no estoy seguro de cómo ver o manipular este campo. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Si $K=\Bbb{Q}(\theta)$ y $L\supset K$ es una extensión de campo con $\alpha:=\theta(\theta+\sqrt{2})\in L$ entonces porque $\theta\in L$ también $$\frac{\alpha}{\theta}-\theta=\sqrt{2}\in L,$$ y a la inversa, si $\sqrt{2}\in L$ entonces $\theta(\theta+\sqrt{2})\in L$ . Así que $L$ contiene $K(\sqrt{2})$ y $K(\sqrt{2})$ es la menor extensión de $K$ que contiene $\theta(\theta+\sqrt{2})$ .

Porque $\theta$ es un cero de un cúbico irreducible, la extensión $K/\Bbb{Q}$ tiene grado $3$ . En particular, no tiene ningún subcampo cuadrático, por lo que $\sqrt{2}\notin K$ . Esto significa que por cada $z\in K(\sqrt{2})$ existe único $x,y\in K$ tal que $z=x+y\sqrt{2}$ .

Para cada elemento $x\in K$ existe un único $a,b,c\in\Bbb{Q}$ tal que $x=a+b\theta+c\theta^2$ porque $\theta$ es un cero de una cúbica irreducible. Por lo tanto, $K(\sqrt{2})$ consiste en expresiones de la forma $$a+b\theta+c\theta^2+d\sqrt{2}+e\theta\sqrt{2}+f\theta^2\sqrt{2}.$$

Answer 2

Tienes razón. Necesitas $\mathbb Q(\theta,\sqrt2)=K(\sqrt 2)$ .

Los elementos de este campo son de la forma $a+b\sqrt 2+c\theta+d\theta^2+e\theta\sqrt 2+f\theta^2\sqrt 2$ con $a,b,c,d,e,f \in \mathbb Q$ .

Esto es sencillo porque $\theta$ tiene grado $3$ y $\sqrt 2$ tiene grado $2$ que son coprimas.