¿Por qué obtengo una altura negativa?

Question

Se lanza un béisbol desde el techo $50.1^\circ$ por encima del horizontal. La velocidad inicial es $11.5\ \mathrm{m/s}$.

Estoy tratando de encontrar qué tan alto llega la pelota. Elijo la dirección positiva hacia arriba.

$$ H = \frac{1}{2g} v_{0y}^{2} $$

Pero obtengo una respuesta negativa porque $g$ es negativo. ¿Es $g$ un valor absoluto al trabajar con energía?

Answer 1

$g$ es siempre positivo. El signo negativo que generalmente ve proviene de definir hacia abajo como negativo, pero el valor de $g$ es siempre positivo. Por eso nunca ves signos de valor absoluto y por eso tu ecuación es en realidad correcta.

Para agregar más detalle, el valor de $g$ es simplemente la magnitud de la aceleración debido a la gravedad cerca de la superficie de la Tierra. Se da por $$g=\frac{GM}{R^2}$$ donde $M$ y $R$ son la masa y el radio de la tierra respectivamente, y $G$ es una constante. Todos estos valores son positivos, por lo que $g$ también es positivo.

Answer 2

$g$ siempre debe ser positivo. Es la magnitud de la intensidad del campo gravitacional. Si eliges vertical hacia arriba como positivo $y$, entonces el campo gravitacional (un vector) será $-g\hat{j}$. El cambio en la energía potencial gravitatoria dentro de un rango vertical pequeño será $$\Delta U_g=mg\Delta y$$ donde $g$ es razonablemente constante dentro del rango de $\Delta y$. Por ejemplo, si un objeto de 2 kg se mueve cerca de la superficie de la tierra de $y_a= 2$ m a $y_b= 3$ m, $$\Delta U_g=mg(y_b-y_a)=19.6~\mathrm{J}.$$ Si se mueve de $y_b$ a $y_a$ $$\Delta U_g=mg(y_a-y_b)=-19.6~\mathrm{J}.$$

Answer 3

El primer problema es que está lanzado en ángulo.

Dado que la pregunta parece asumir que no hay fricción en el aire, la parte de la velocidad que nos interesa para la respuesta es su componente vertical (11.5 x sin 50.1 = 8.82 m/s). La componente horizontal indica qué tan lejos viajará horizontalmente, lo cual no se nos pregunta.

Entonces, la pregunta es la misma que preguntar sobre una pelota lanzada verticalmente hacia arriba a 8.82 m/s.

A continuación, debemos elegir qué dirección llamamos "positiva". Esa es una elección completamente libre.

• Si llamamos "arriba" la dirección +, entonces la pelota comienza con velocidad positiva +8.82 (porque su velocidad inicial está en la dirección que definimos como +), y tiene una aceleración en dirección negativa, con una aceleración de -9.8 (porque la gravedad actúa en la dirección hacia abajo que definimos como -).
• Si llamamos "abajo" la dirección +, entonces la pelota comienza con velocidad negativa -8.82 (porque su velocidad inicial está en la dirección que definimos como -), y tiene una aceleración en dirección positiva, con una aceleración de +9.8 (porque la gravedad actúa en la dirección hacia arriba que definimos como +).

Podemos elegir cualquiera de estas opciones, y la respuesta será la misma.

Si definimos "arriba" como la dirección positiva, que probablemente es la forma habitual en que la mayoría de la gente lo haría, entonces la pelota comienza con una velocidad positiva, y experimenta una aceleración constante (desaceleración) en la dirección negativa. (¿Ves cómo usamos direcciones positivas y negativas y +/-g?). La pelota alcanza su punto más alto cuando su velocidad llega a cero, porque después de eso comienza a moverse hacia abajo nuevamente en una dirección negativa. Queremos saber qué tan lejos ha viajado en ese tiempo.

Podemos resolver esto usando ecuaciones de movimiento, o energía; la respuesta será la misma. Mostraré ambos métodos.

Usando ecuaciones de movimiento

Hay diferentes maneras de escribir la ecuación cuando conocemos la velocidad inicial (v₁ que es 8.82), velocidad final (v₂ que es cero), y aceleración (a que es -9.8), y queremos conocer la distancia (s). Una manera fácil es calcular el tiempo (t) que lleva:

v₂ = v₁ + at

\=> 0 = 8.82 + (-9.8) t

\=> t = 8.82 / 9.8 = 0.9 segundos

¿Qué distancia recorrió?

s = (v₁ + v₂) t / 2

s = (8.82 + 0) x 0.9 / 2

s = 8.82 x 0.9 /2 = 3.969

La pelota viajó 3.969 metros hacia arriba en su punto más alto.

Usando energía

La E.C. inicial es m.v₁2/2 = m.8.822/2 = 38.89 m

E.C. final = 0 (cuando la pelota está en su punto más alto, toda la E.C. se ha transformado en E.P., y no tiene ninguna velocidad vertical.)

La ganancia en E.P. al elevar una pelota de peso 'm' por una altura 'h' es mgh.

Pero realmente no tenemos que considerar las direcciones del movimiento. Solo tenemos que considerar la energía. Comienza con cierta E.C. y termina sin ninguna. Comienza con algo de E.P. y termina con una E.P. gravitatoria más alta porque su posición es más alta dentro de un campo gravitatorio (sin importar cómo llegó allí)

\=> mgh = 38.89m

\=> g.h = 38.89

\=> 9.8.h = 38.89

\=> h = 38.89 / 9.8 = 3.969

Misma respuesta - la pelota se eleva 3.969 metros en su punto más alto.

Answer 4

Supongo que llegaste a esta ecuación al igualar la energía potencial en el punto más alto $E_\text{pot}=mgH$ a la energía cinética vertical $E_\text{kin}=\frac{mv_y^2}{2}$. En la fórmula para la energía potencial, $g$ debe tomarse como positivo, ya que de lo contrario daría como resultado una energía potencial negativa (lo cual es posible, pero no correcto en este contexto).

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Si quieres que eso sea coherente, deriva tú mismo la fórmula para la energía potencial. En ese caso $F_\text{grav}=mg$ ya que tomas $g$ como negativo, y solo estamos considerando la componente $z$. Entonces, dado que para subir algo necesitamos aplicar una fuerza opuesta a la fuerza gravitatoria, tenemos $$E_\text{pot} = \int_0^h -F_\text{grav} ds = \int_0^h -mg\,ds = \left. -mgs\right|_{s=0}^{h} = -mgh$$

Answer 5

Los signos funcionan correctamente siempre y cuando tengas cuidado.

Si un objeto acelera con una aceleración constante $a$ sobre una distancia $s$, entonces el trabajo hecho sobre el objeto es la fuerza multiplicada por la distancia. Pero tenemos que $F=ma$, así que el trabajo hecho sobre el objeto es $mas$. Entonces, si $K_1$ y $K_2$ son la energía cinética del objeto al principio y al final del período, entonces

$K_2-K_1=mas$

En el caso del movimiento balístico en dirección vertical, $K_1=\frac 1 2 mv^2$ donde $v$ es la velocidad inicial del objeto. Si el objeto alcanza una altura máxima de $h$ entonces $K_2=0$ cuando $s=h$, entonces tenemos

$-\frac1 2 mv^2 = mah$

Sustituyendo $a=-g$ y tenemos

$-\frac1 2 mv^2 = -mgh \\ \Rightarrow h = \frac {v^2} {2g} $