Probar que$a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ no puede ser un número primo

Question

Demostrar que el número de $$a+b+2\sqrt{ab+c^2}$$ no puede ser un número primo para cualquier entero positivo números de $a,b,c$.
Mi intento:
Supongamos que $p=a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ es un primo. WLOG asumir que $a \geq b$. A partir de la igualdad tenemos $$\left(a+b\right)^2+p^2-2p\left(a+b\right)=4ab+4c^2 \Leftrightarrow \left(a-b-2c\right)\left(a-b+2c\right)=p\left(2a+2b-p\right)$$ Desde $0<a-b+2c<a+b+2c<p$, debemos tener $p |\left(a-b-2c\right)$. Pero luego no sé cómo continuar el camino. Por favor me ayude. Gracias.

Answer 1

Su trabajo ha casi terminado el problema. $p|(a-b-2c)$ es la clave de la propiedad.

Si $a-b-2c>0$, a continuación, $a-b-2c\ge p$. Por lo tanto $a\ge b+2c+p$, una contradicción ya que el $a<p$.

Si $a-b-2c<0$, a continuación, $a-b-2c\le -p$. Por lo tanto $a+p\le b+2c$, lo $2a+b+2\sqrt{ab+c^2}\le b+2c$, lo $a+\sqrt{ab+c^2}\le c$, de nuevo una contradicción.

Por último, si $a-b-2c=0$, a continuación, $a=b+2c$. Pero, a continuación, $p=(b+2c)+b+2\sqrt{ab+c^2}$ es incluso.