Deje que$X$ esté conectado y conectado localmente. Deje que$f:X\to [0,1]$ sea una función continua biyectiva, entonces$X$ es homeomorfo a$[0,1]$

Question

Deje $X$ estar conectado y conectado localmente. Deje $f:X\to [0,1]$ ser continua y bijective función, $X$, $[0,1]$ son homeomórficos.

Mi intento

Deje $A\subset X$ no vacía conjunto abierto, vamos a ver f(a) es abierto.

tomamos $y\in f(A)$, entonces no existir $x\in A$ tal que $f(x)=y$ ($f$bijective). Por hipótesis de $X$ está conectado localmente existir $V\subset X$ abierto conectado conjunto tal que $x\in V\subset A$, por la continuidad de $f(V)$ está conectado y $y\in f(V)\subset f(A)\subset [0,1]$, lo $f(V)$ es un intervalo, entonces creo que es suficiente para probar que $f(V)$ no es de la forma $[a,b]$, $[a,b)$, $(a,b]$ para $a>0$, $b<1$ Pero no sé cómo demostrarlo.

gracias de antemano

Answer 1

Deje $I'$ el espacio con el conjunto subyacente $I = [0,1]$ y topología $\mathfrak{T}_f = \{ f(U) \mid U \text{ open in } X \}$ (tenga en cuenta que esto es de hecho una topología en $I$ porque $f$ es un bijection). A continuación, $f : X \to I'$ es un homeomorphism y el mapa de identidad $id : I' \to I$ es continuo, lo que significa que $\mathfrak{T}_f$ es más fina que la topología estándar $\mathfrak{T}$. Tenemos que mostrar que $\mathfrak{T}_f = \mathfrak{T}$.

Desde $I'$ está conectado localmente, conectado abrir conjuntos de $\mathfrak{T}_f$ formulario de una base de $\mathfrak{T}_f$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que cada uno de ellos conectado conjunto abierto de $\mathfrak{T}_f$ pertenece a$\mathfrak{T}$.

Así que vamos a $B$ ser conectado a un conjunto abierto de $\mathfrak{T}_f$. Tenemos $B = id(B)$ conectado en $I$, por lo tanto cada una de las $B$ es un intervalo. Todos los intervalos de la forma $[0,1]$, $[0,a)$ con $0 < a \le 1$, $(a,b)$ con $0 \le a < b \le 1$ e $(a,1]$ con $0 \le a < 1$ pertenecen a $\mathfrak{T}$. Así que vamos a considerar si otros intervalos se pueden abrir en $I'$.

1) $B = [a,b]$ con $0 \le a \le b \le 1$ e $\lvert b - a \rvert < 1$.

Si se abre, a continuación, $V = ((-1,a) \cup (b, 2)) \cap [0,1]$ sería un conjunto abierto no vacío en $\mathfrak{T }\subset \mathfrak{T}_f$ e $B, V$ sería una descomposición de la $I'$ en vacío discontinuo abrir establece que es imposible. Por lo tanto $B$ no se puede abrir en $I'$.

2) $B = [a,b)$ con $0 < a < b \le 1$.

Si se abre, a continuación, $B \cup (a,1] = [a,1]$ estaría abierto en $I'$ lo cual es imposible por 1).

3) $B = (a,b]$ con $0 \le a < b < 1$.

Si se abre, a continuación, $B \cup [0,b) = [0,b]$ estaría abierto en $I'$ lo cual es imposible por 1).