Ejemplos de espacios secuenciales compactos pero no compactos que no utilizan ordinales.

Question

Creo que el título se explica por sí mismo, estoy usando el texto de la Segunda Edición de Topología de Conjuntos de Puntos de Munkres y no puedo averiguar si tales ejemplos son posibles.

Answer 1

Sea $P=\{0,1\}^\mathbb{R}$ en la topología del producto.

Definir el subespacio $X = \{f \in P: f^{-1}[\{1\}] \text{ is at most countable }\}$ en la topología del subespacio, todas las funciones que tienen son casi siempre $0$ .

$X$ es denso en $P$ (que es Hausdorff compacta, pero no secuencialmente compacta), por lo que no es compacta (o habría sido cerrada, no densa), por lo que $X$ es completamente regular.

$X$ es contablemente compacto y secuencialmente compacto: esto se deduce del hecho de que cualquier subconjunto contable de $X$ (o secuencia de $X$ ) "vive esencialmente" de un producto $\{0,1\}^M$ con $M$ contable (que es métrica compacta y, por tanto, también secuencialmente compacta).

$X$ es también un subconjunto secuencialmente cerrado de $P$ que no está cerrado. También es un grupo topológico. Es un ejemplo bastante bonito y no requiere más conocimientos que la contabilidad y la incontabilidad de $\mathbb{R}$ .