Un problema de examen de ingreso relacionado con las secuencias y los límites

Question

Este es un problema del examen de ingreso de la Universidad de Tokio y, lamentablemente, el funcionario no ofrece soluciones.

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1) Utilizando la inducción matemática. Supongamos que $f_{n}(x)=c_{n} x^{a_{n}}$ se mantiene para $n$ y por $f_{n+1}(x)=p \int_{0}^{x}\left(f_{n}(t)\right)^{1 / q} \mathrm{d} t$ podemos conseguir $f_{n+1}(x)$ . Entonces, comparando el coeficiente y el exponente se verá que se cumple para $n+1$ también.

2) 3) 4) 5) 6) No tengo ni idea. He intentado calcular las derivadas de $g_n$ pero no sé qué hacer a continuación.

Puedo conseguir $a_{n+1}$ a partir de la fórmula recursiva, pero la forma de la misma es algo compleja, lo que dificulta la obtención de $c_{n+1}$ . Así que supongo que el resto de preguntas podrían hacerse sin saber lo que realmente $a_n$ y $c_n$ son. Pero no sé cómo hacerlo.

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También, $1 / p+1 / q=1$ parece una condición frecuente, ¿cómo se suele utilizar en las soluciones?

Answer 1

Para empezar, la noción principal que hay que saber para manejar las dos primeras preguntas es la de un secuencia aritmética-geométrica (en el contexto francés, que difiere del inglés).

Entonces, se dará cuenta fácilmente de cómo $a_n$ es una secuencia aritmética-geométrica. Eso te da las dos cosas:

• una fórmula explícita para $a_n = \frac{1-q^{-n+1}}{1-q^{-1}}=\sum_{k=0}^{n-2}q^{-k} = p(1-q^{-n+1})$

• su límite $\lim_{n\to \infty} a_n=\frac{1}{1-q^{-1}}=p$

Para 2): $$ g'_n(x_n)=a_nx_n^{a_n-1}-px_n^{p-1}=0 \Leftrightarrow x_n=\left( \frac{a_n}{p} \right)^{\frac{1}{p-a_n}} $$ que se mantiene porque $\lim_{n\to \infty} a_n=p$ y $(a_n)_{n\geq 0}$ está aumentando por lo que $p-a_n> 0$ así $x_n$ existe y es único. Es un máximo por el signo de la diferencia de $x\mapsto a_nx^{a_n-1}$ y $x\mapsto px_n^{p-1}$ (intente obtener este resultado por sí mismo).

Para 3):

Desde $y\mapsto x^y=e^{y\ln x}$ es continua sobre $\mathbb{R}$ lo que sea $x\in \mathbb{R}^{+*}$ , $\lim_{n\to \infty}x^{a_n}=x^{\lim_{n\to \infty}a_n}=x^p$ . Así, $\lim_{n\to \infty}g_n(x)=0$ para $x\in ( 0,1 ]$ . Para $x=0$ el resultado es trivial.