Problema de la ruina del jugador justo intuición

Question

En una feria del jugador ruina problema, donde el jugador comienza con k de dólares, gana \$1 with probability 1/2 and loses \$1 con probabilidad 1/2, y se detiene cuando él/ella llega a \$n or \$0.

En la solución (de Dobrow Introducción a los Procesos Estocásticos con R), dejan $p_k$ se define como la probabilidad de alcanzar \$n with \$k en el inventario. A continuación, utilizan el hecho de que $p_k - p_{k-1} = p_{k-1} - p_{k-2} = ... = p_1 - p_0 = p_1$.

Intuitivamente esto significa que la probabilidad de alcanzar \$n with \$k menos la probabilidad de alcanzar \$n with \$k-1 es equivalente a la probabilidad de alcanzar \$n with only \$1.

Hay una razón intuitiva de por qué este es el caso?

Answer 1

La probabilidad de alcanzar \$$n$ starting with \$$k$ puede ser dividido por qué posibles primeros pasos que puede tomar, usted pierde la primera sacudida o ganar, cada uno con una probabilidad de $1/2$. Si usted gana, usted tiene \$$(k+1)$, so the probability of reaching \$$n$ a partir de aquí es $p_{k+1}$. Si, por el contrario, se pierde el primer lanzamiento, a continuación, su \$$p_{k-1}$. Then use the Law of Total Probability $P(X)=\sum_n P(X|Y_n)P(Y_n)$ where $Y_n$ is a partition of the sample space. In this case, $Y_1=\{\text{perder tirar}\}$, and $Y_2=\{\text{ganar el toss}\}$. Entonces usted consigue

$$p_k=\frac12(p_{k-1}+p_{k+1})$$ Rearranging this gives $$2p_k=p_{k-1}+p_{k+1}\\p_k-p_{k-1}=p_{k+1}-p_k$$ as required, and iterating it multiple times gets to $p_1-p_0$, and of course, $p_0=0$.

Answer 2

Con respecto a un "intuitivo" la razón de esta relación, tenga en cuenta que ganar o perder un dólar tiene una oportunidad igual y es independiente de la cantidad de sus actualmente. Por lo tanto, el cambio en la probabilidad de ganar o perder, al arrancar con \$$1$ more is independent of what your starting value is. Note that if $q_k = 1 - p_k$ is the probability of losing when starting with \$$k$,, a continuación, conectar $p_k = 1 - q_k$ in da que

$$q_{k-1} - q_k = q_{k-2} - q_{k - 1} = \ldots = q_1 - q_2 = q_0 - q_1 \tag{1}\label{eq1}$$

Nota puede revertir todos los elementos multiplicando por $-1$ a dar exactamente la misma relación con $p_k$.

Sobre cómo obtener la relación, esta respuesta originalmente se inició con la que, como la respuesta de John Doe de los estados, la diferencia de la relación para llegar a \$n starting with \$i está dada por

$$p_i = \frac{1}{2}p_{i - 1} + \frac{1}{2}p_{i + 1} \tag{2}\label{eq2}$$

basado en las probabilidades de ganar o de perder el primer tiempo. Sumando \eqref{eq2} para $i$ de $1$ a $k - 1$ da

$$\sum_{i=1}^{k-1} p_i = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k-1} p_{i - 1} + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k-1} p_{i + 1} \tag{3}\label{eq3}$$

Tener la sumatorias sólo se incluyen los términos de uso común en ambos lados da

$$p_1 + \sum_{i=2}^{k - 2} p_i + p_{k-1} = \frac{1}{2}p_0 + \frac{1}{2}p_1 + \frac{1}{2}\sum_{i=2}^{k - 2} p_i + \frac{1}{2}\sum_{i=2}^{k - 2} p_i + \frac{1}{2}p_{k-1} + \frac{1}{2}p_k \tag{4}\label{eq4}$$

Puesto que la suma de partes en ambos lados de la misma cosa, que se puede quitar. Por lo tanto, después de mover la $p_0$ e $p_1$ términos para el lado izquierdo y el $p_{k-1}$ plazo de la izquierda a la RHS, \eqref{eq4} se convierte en

$$\frac{1}{2}p_1 - \frac{1}{2}p_0 = \frac{1}{2}p_k - \frac{1}{2}p_{k-1} \tag{5}\label{eq5}$$

Multiplicando ambos lados por $2$, entonces la variable $k$ hacia abajo, le da a las relaciones que señaló que se utiliza en la solución. Sin embargo, generalmente es más simple y más fácil de manipular \eqref{eq2} para obtener ese $p_{i+1} - p_{i} = p_{i} - p_{i-1}$, como John Doe la respuesta de los estados.