¿Existe una biyección $f$ de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Q}^+$ tal que $\lim_{n \to \infty} \frac{f(n+1)}{f(n)}$ ¿existe?

Question

¿Existe una biyección $f$ de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Q}^+$ tal que $$\lim_{n \to \infty} \frac{f(n+1)}{f(n)}$$ ¿existe?

Mi opinión es que no hay tal $f$ existe.

Answer 1

Tomemos cualquier enumeración de racionales $q_1, q_2, \ldots$ y hacer uno nuevo $p_1, \ldots$ tal que $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{p_{n+1}}{p_n} = 1$ .

Dejemos que $p_1 = q_1$ .

Ahora supongamos que ya hemos enumerado $m$ puntos, y $q_n$ es el primero (en $q$ ) que aún no se ha enumerado.

Si $q_n > p_m$ , tomemos algunas $x \in \left(1; 1 + \frac{1}{n}\right)$ tal que los puntos $p_m x, p_m x^2, \ldots, p_m x^k$ (donde $k$ es tal que $p_m x^k < q_n < p_m x^{k + 1}$ ) aún no están enumerados. Tales $x$ existe, porque para cada $i < m$ sólo tenemos una cantidad finita de números $y \in \left(1; 1 + \frac{1}{n}\right)$ tal que $p_m y^i = p_i$ para algunos $i$ .

Dejemos que $p_{m + 1} = p_m x$ , $p_{m + 2} = p_m x^2$ , $\ldots$ , $p_{m + k} = p_m x^k$ , $p_{m + k + 1} = q_n$ .

Si $q_n < p_m$ entonces elija de manera similar $x \in \left(1 - \frac{1}{n}; 1\right)$ .