Puede alguien sugerir un método para resolver la integral de abajo? He intentado muchas cosas pero no han tenido suerte todavía. Para ser honesto, no estoy seguro de una solución analítica en realidad existe.
$$I=\int\cosh(2x)\sqrt{[\sinh(x)]^{-2/3}+[\cosh(x)]^{-2/3}}\,\textrm{d}x.$$
Gracias.
Aquí es otro intento que he hecho:
Deje $y=[\tanh(x)]^{2/3}$, y reescribir $I$ tales que
$$I=\int\cosh(2x)[\sinh(x)]^{-1/3}\sqrt{1+[\tanh(x)]^{2/3}}\,\textrm{d}x.$$
A continuación, $\textrm{d}x=(3/2)[\tanh(x)]^{1/3}[\cosh(x)]^{2}\,\textrm{d}y$. Por lo tanto
\begin{align*} I&=\frac{3}{2}\int\cosh(2x)[\sinh(x)]^{-1/3}[\tanh(x)]^{1/3}[\cosh(x)]^{2}\sqrt{1+y}\,\textrm{d}y \\ &=\frac{3}{2}\int\cosh(2x)[\cosh(x)]^{5/3}\sqrt{1+y}\,\textrm{d}y \\ &=\frac{3}{2}\int[\cosh(x)]^{11/3}\sqrt{1+y}\,\textrm{d}y +\frac{3}{2}\int[\sinh(x)]^{2}[\cosh(x)]^{5/3}\sqrt{1+y}\,\textrm{d}y \\ &=\frac{3}{2}\int[\textrm{sech}(x)]^{-11/3}\sqrt{1+y}\,\textrm{d}y +\frac{3}{2}\int[\tanh(x)]^{2}[\textrm{sech}(x)]^{-11/3}\sqrt{1+y}\,\textrm{d}y \\ &=\frac{3}{2}\int[\textrm{sech}(x)]^{-11/3}\sqrt{1+y}\,\textrm{d}y +\frac{3}{2}\int[\textrm{sech}(x)]^{-11/3}y^3\sqrt{1+y}\,\textrm{d}y \\ &=\frac{3}{2}\int\frac{(1+y)^{1/2}}{(1-y^3)^{11/6}}\,\textrm{d}y +\frac{3}{2}\int y^{3}\frac{(1+y)^{1/2}}{(1-y^3)^{11/6}}\,\textrm{d}y \\ &=\frac{3}{2}\int\frac{(1+y^3)(1+y)^{1/2}}{(1-y^3)^{11/6}}\,\textrm{d}y \\ &=\frac{3}{2}\int\frac{(1-y^6)(1+y)^{1/2}}{(1-y^3)^{17/6}}\,\textrm{d}y \end{align*}
