Encontrar la razón detrás del valor de la integral.

Question

Solo estaba tratando de encontrar $$\int_{0}^{\pi / 2}\frac{\sin{9x}}{\sin{x}}\,dx $$ using an online integral calculator. And surprisingly I found that if I replace $ 9x$ by $ x, 3x, 5x$ which are some odd multiples of $ x$ the value of integral came out to be $ \ dfrac \ pi 2 $ .

No puedo entender la razón y me gustaría saber por qué sucede esto.

---

Edición : También se puede observar que $$\int_{a{\pi}}^{b\pi }\frac{\sin{9x}}{\sin{x}}\,dx =(b-a){\pi}$$ where $ a, b $ son enteros.

Answer 1

Sugerencia

Considere la posibilidad de $I(n)=\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$

$$I(2m+1)-I(2m-1)=\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(2m+1)x-\sin(2m-1)x}{\sin{x}} dx=\int_{0}^{\pi/2} \frac{2\sin(x)\cos(2mx)}{\sin{x}} dx$$ $$\implies 2\int_{0}^{\pi/2} \cos(2mx)dx.......(1)$$ Ahora piensa en lo que sucede a esta integral al $m$ es un número entero. Y también trate de usar el hecho de $I(1)=\frac{\pi}{2}$.

Editar (Como el OP ha cambiado la pregunta un poco)

Ahora consideremos$I(n)=\int_{a\pi}^{b\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$

A partir de(1) $$\implies 2\int_{a\pi}^{b\pi} \cos(2mx)dx=2\bigg[\frac{\sin(2mx)}{2m}\bigg]_{a\pi}^{b\pi}$$ $$\implies I(2m+1)-I(2m-1)=\frac{1}{n} \bigg[\sin(2\pi bx)-\sin(2\pi ax)\bigg]=0$$ Siempre ${a,b} \in \mathbb{Z} $ $$\implies I(2m+1)=I(2m-1)$$ Ahora Como $I(1)=(b-a)\pi$

Por lo tanto

$$ \bbox[5px,border:2px solid blue] {\int_ {\pi}^{b\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx=(b-a)\pi } $$ Cuando n es impar.