Encuentra$\lim_{n \rightarrow\infty } P_n$ whreas$P_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot\cdot\cdot\frac{n^3-1}{n^3+1}$.

Question

$\lim_{n \rightarrow\infty } P_n$whreas $P_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot\cdot\cdot\frac{n^3-1}{n^3+1}$.

Este es un problema en el pasado de un nivel de enseñanza secundaria de matemáticas compettion.

Mis intentos:

1.Inicialmente pensé en encontrar el producto de la secuencia.Pero luego me doy cuenta de que no hay necesidad de producto coz' que va a hacer la función más complicada.

2.Entonces traté de simplificar los primeros términos, de manera que puede ser en cierto modo algunos de los términos centrales pueden ser cancelados .

De modo que el producto de los primeros términos mirar algo como esto,

$\frac{7}{9}\cdot\frac{26}{28}\cdot\frac{63}{65}\cdot\cdot\frac{n^3-1}{n^3+1}$

Pero yo me cansaría de encontrar algún patrón en el este.Entonces, ¿cómo el límite puede ser evaluado?

Answer 1

Hay algo de telescopia ocurriendo aquí. Tenemos $$\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{n-1}{n+1}\frac{n^2+n+1}{n^2-n+1}.$ $ Entonces, $$\prod_{n=2}^N\frac{n-1}{n+1}=\frac13\frac24\frac35\frac46\cdots\frac{N-1}{N+2}$ $ y $$\prod_{n=2}^N\frac{n^2+n+1}{n^2-n+1}=\frac73\frac{13}7\frac{21}{13}\frac{31}{21}\cdots\frac{N^2+N+1}{N^2-N+1}.$ $ Ambos productos son telescopio para dar forma cerrada para $$\prod_{n=2}^N\frac{n^3-1}{n^3+1}.$ $

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \bbox[10px,#ffd]{P_{n}} & \equiv \prod_{k = 2}^{n}{k^{3} - 1 \over k^{3} + 1} = \prod_{k = 2}^{n}{\pars{k - 1}\pars{k - \expo{2\pi\ic/3}} \pars{k - \expo{-2\pi\ic/3}} \over {\pars{k + 1}\pars{k - \expo{\pi\ic/3}} \pars{k - \expo{-\pi\ic/3}}}} \\[5mm] & = {\pars{n - 1}! \over \pars{n + 1}!/2}\prod_{k = 2}^{n}{\pars{k - \expo{2\pi\ic/3}} \pars{k - \expo{-2\pi\ic/3}} \over \pars{k - \expo{\pi\ic/3}}\pars{k - \expo{-\pi\ic/3}}} \\[5mm] & = {2 \over \pars{n + 1}n}\verts{\prod_{k = 2}^{n} {\pars{k - \expo{2\pi\ic/3}} \over \pars{k - \expo{\pi\ic/3}}}}^{2} \\[5mm] & = {2 \over n\pars{n + 1}}\verts{\prod_{k = 2}^{n} {\pars{k + 1/2 - \root{3}\ic/2} \over \pars{k - 1/2 - \root{3}\ic/2}}}^{2} \\[5mm] & = {2 \over n\pars{n + 1}} \verts{\pars{5/2 - \root{3}\ic/2}^{\overline{n - 1}} \over \pars{3/2 - \root{3}\ic/2}^{\overline{n - 1}}}^{2} \\[5mm] & = {2 \over n\pars{n + 1}} \verts{\Gamma\pars{n + 3/2 - \root{3}\ic/2}/\Gamma\pars{5/2 - \root{3}\ic/2} \over \Gamma\pars{n + 1/2 - \root{3}\ic/2}/\Gamma\pars{3/2 - \root{3}\ic/2}}^{2} \\[5mm] & = {2 \over n\pars{n + 1}}\,\verts{\Gamma\pars{3/2 - \root{3}\ic/2} \over \Gamma\pars{5/2 - \root{3}\ic/2}}^{2}\ \verts{\pars{n + 1/2 - \root{3}\ic/2}! \over \pars{n - 1/2 - \root{3}\ic/2}}^{2} \\[8mm] & \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, {2 \over n\pars{n + 1}}\ \overbrace{1 \over \verts{3/2 - \root{3}\ic/2}^{2}}^{\ds{=\ 1/3}}\ \times \\[2mm] & \verts{\root{2\pi}\pars{n + 1/2 - \root{3}\ic/2}^{n + 1 - \root{3}\ic/2} \expo{-n - 1/2 + \root{3}\ic/2} \over \root{2\pi}\pars{n - 1/2 - \root{3}\ic/2}^{n - \root{3}\ic/2} \expo{-n + 1/2 + \root{3}\ic/2}}^{2} \\[8mm] & \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, {2/3 \over n\pars{n + 1}}\ \verts{n^{n + 1 - \root{3}\ic/2}\bracks{1 + \pars{1/2 - \root{3}\ic/2}/n}^{n} \expo{- 1/2 + \root{3}\ic/2} \over n^{n - \root{3}\ic/2}\bracks{1 - \pars{1/2 + \root{3}\ic/2}/n}^{n} \expo{1/2 + \root{3}\ic/2}}^{2} \\[5mm] & = {2/3 \over n\pars{n + 1}}\,n^{2} \,\,\,\stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\Large\to}\,\,\, \bbx{2 \over 3} \end{align}