Resolviendo

Question

Me dieron varios ejercicios y hay uno en particular que no puedo resolver.

Supongamos que$Pic(\mathbb{Z}[\sqrt{−19}])$ es un grupo finito de orden$3$. Use esto para encontrar todas las soluciones integrales de la ecuación$x^2 + 19 = (x + \sqrt{−19})(x-\sqrt{−19})= y^5$.

No tengo ni idea de qué hacer. ¿Podría alguien ayudarme? ¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Deje $x$ $y$ ser números enteros que satisfacen $x^2 + 19 = y^5$. A continuación,$(x + \sqrt{-19})(x - \sqrt{-19}) = (y)^5$.

Si usted puede encontrar que $(x + \sqrt{-19})$ $(x - \sqrt{-19})$ son coprime ideales, (si $19 \mid x$ se mantenga, a continuación, $19 \mid y$ $19 = y^5 - x^2$ cuando la HR es divisible por $19^2$ - contradicción), a continuación, $(x + \sqrt{-19})$ es la quinta potencia del ideal $I$; desde el grupo de clase habría pedido $3$ (no), $I$ debe ser principal, y $x + \sqrt{-19}$ perfecto quinto poder.

La equiparación de la $x + \sqrt{-19}=(a + \frac{1+\sqrt{-19}}{2}b)^5$ da $$x = a^5 +\frac{5}{2}a^4b - 45a^3b^2 - 70a^2b^3 + \frac{155}{2}ab^4 + \frac{101}{2}b^5$$ for $a,b \in \mathbb{Z}$ such that $$5a^4b + 10a^3b -40a^2 b^3 - 45ab^4 + 11b^5 = 2;$$ the lower equation implies that $b = \pm 1$ or $b = \pm 2$. Calculamos

si $b=1$, $5a^4 + 10a^3 - 40a^2 -45a + 9 = 0$ sin soluciones integrales;

si $b=-1$, $5a^4 -10a^3 - 40a^2 + 45a + 13 = 0$ sin soluciones integrales;

$b = 2$ da soluciones $a = 5$ $a = -7$ y, por tanto,$a+\frac{1+\sqrt{-19}}{2}b = \pm 6 + \sqrt{-19}$;

$b = -2$ da ninguno.

Así que usted debe tener $x + \sqrt{-19} = (\pm6 + \sqrt{-19})^5 = \pm 22434 + \sqrt{-19}$;

por lo $x = \pm 22434$ $y = (22434^2 + 19)^{(1/5)} = 55$ es la única solución integral.