Límite de suma de series geométricas cuando$r = 1$

Question

Actualmente estoy de aprendizaje de la prueba de suma de la serie geométrica en Khan Academy.

Entiendo el comportamiento de la función cuando el $|r| > 1$, cuando se $|r| < 1$, cuando se $r = 0$ e al $r = -1$, pero estoy un poco confundido por su comportamiento cuando es $r = 1$.

El narrador dijo que cuando $r = 1$, el límite de la función no está definida porque el denominador de la función de límite sería $0$, y el comportamiento de la función de límite no está definido, lo que yo no entiendo.

Mi confusión se produce cuando traté de sustituir $r = 1$ en la función original para la suma de la serie geométrica,

si $r = 1$, entonces cada término igual a a, y la suma de la serie geométrica sería de enfoque infinito, por lo que su comportamiento está DEFINIDO.

Así que cuando $r = 1$, el comportamiento de la función suma se DEFINE, sino también el comportamiento de la función de límite no está definido, pero la función suma también igual a la función de límite?!

Esto me causa tanta confusión.

Answer 1

Con el fin de entender por qué $r=1$ no está permitido que usted tiene que mirar en la prueba de la serie geométrica (me descuide la constante de $a$). Empezamos con

$$S_n = 1 + r+ r^2+ ... + r^n$$ $$rS_n = r + r^2 + r^3 +... + r^{n+1}$$

Luego restamos las dos ecuaciones.

$$S_n ( 1-r) = 1 - r^{n+1}$$

La solución para $S_n$ requiere $r\neq 1$ o buceado por $0$.

Answer 2

Lo que sucede es que la igualdad $$\sum_{k=0}^nar^n=\frac{a-ar^{n+1}}{1-r}$$ only holds when $r \ neq1$. When $r = 1$, it doesn't make sense. So, in order to study the behaviour of the series $\ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ nar ^ n$ when $r = 1$, we have to take another apprach. And that approach is:$$\sum_{k=0}^na1^n=\sum_{k=0}^na=(n+1)a.

Answer 3

Es una cuestión de terminología. Tiene razón al decir que "su comportamiento está DEFINIDO", pero esta es una declaración informal, lo que significa que entendemos que la serie se desvía hasta el infinito.

Pero cuando el límite de una serie no puede expresarse con un número real, decimos que no está definido . Debes aceptar esta convención.

Answer 4

La mejor manera es buscar en una serie geométrica con una relación de 1, tales como

$2+2+2+2+2+2+2...$

Aquí, debido a que cada término es simplemente el término anterior multiplicado por 1, la serie diverge, no hay límite puede ser encontrado por razones obvias.

Tome la razón común de $-1$

$(1)+(-1)+(1)+(-1)+(1)...$

Aquí, el valor rebota entre 0 y 1, así que no hay límite puede ser encontrado.

Nota: Un límite SÓLO se produce si la suma parcial, es decir, la suma de n términos, tiende a un número n se hace más grande y más grande.

Como este no es el caso si $|r|=1$, la función simplemente no tiene límite.

Answer 5

El único problema es que estás considerando que infinito es un número. Si algo es infinito, entonces está indefinido. Entonces, cuando r = 1, no es posible calcular su suma, porque el valor infinito generado no está definido.