El cociente de las diferencias de tres números cualesquiera es alto

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo. Demostrar que podemos encontrar $n$ números reales tales que para cualesquiera tres distintos $x,y,z$ entre ellos, tenemos $\max\left(\left|\dfrac{x-y}{x-z}\right|,\left|\dfrac{x-z}{x-y}\right|\right)>1+\dfrac{1}{n^{1.6}}$ .

Una idea es elegir $a_1<a_2<\ldots<a_n$ de tal manera que la brecha $a_{i+1}-a_i$ es mucho mayor que $a_i-a_{i-1}$ . Pero el problema ahí es que si bien es cierto que la relación entre $a_k-a_x$ y $a_y-a_z$ es alta para cualquier $k>x,y,z$ la relación entre $a_k-a_x$ y $a_k-a_y$ es bajo, para $k>x,y$ .

Answer 1

En lugar de arreglar $n$ y ver cuán alto podemos hacer ese minimax, empezaremos fijando el objetivo del minimax y viendo cuántos puntos podemos generar.

Fijar $\alpha > 1$ . Comenzar con el conjunto $S=\{0,1\}$ . Añadir a $S$ todo $\alpha^{-r}$ Satisfaciendo a $\alpha^{-r} \ge \frac{\alpha}{\alpha+1}$ . La elección específica $\frac{\alpha}{\alpha+1}$ será necesario más adelante; por ahora, tenga en cuenta que $\frac{\alpha}{\alpha+1} > \frac12$ .

Dado cualquier $y,z \in S$ con $y = \alpha^{-r}, z = \alpha^{-s}$ el valor más pequeño de $\max\left(\left|\dfrac{x-y}{x-z}\right|,\left|\dfrac{x-z}{x-y}\right|\right)$ se alcanzará para $x = 0$ (porque $0$ es el punto en $S$ inequívocamente más alejado de ambos $y$ y $z$ ). Pero si $x=0$ este valor es simplemente $\alpha^{|r-s|}$ que es al menos $\alpha$ .

Ahora podemos añadir las imágenes en espejo $1-\alpha^{-r}$ de todos estos puntos, y todavía tenemos que $\max\left(\left|\dfrac{x-y}{x-z}\right|,\left|\dfrac{x-z}{x-y}\right|\right) \ge \alpha$ para todos $x,y,z \in S$ . El único caso que no se sigue directamente por simetría es cuando $y$ y $z$ son los más pequeños $\alpha^{-r}$ y el mayor $1-\alpha^{-r}$ con $x = 0$ o $1$ . Pero entonces $$\frac{\alpha^{-r}}{1-\alpha^{-r}} \ge \frac{\alpha/{(\alpha+1)}}{1-\alpha/{(\alpha+1)}} = \alpha$$

Así que para un determinado $\alpha>1$ , si $\alpha^{-r} \ge \frac{\alpha}{\alpha+1}$ podemos construir un conjunto $S$ que contiene el $2r+2$ puntos $\{0,1-\alpha,...,1-\alpha^{-r},\alpha^{-r},...,\alpha,1\}$ .

Volviendo al problema original: dado $n$ ¿Qué tan grande podemos hacer $\alpha$ ? Supongamos por el momento que $n$ está en paz. Entonces podemos elegir cualquier $\alpha$ tal que $\alpha^{-r} \ge \frac{\alpha}{\alpha+1}$ , donde $r = \frac12(n-1)$ . $\frac{\alpha}{\alpha+1} < \frac12\alpha$ , por lo que este es el caso si $\alpha^{-(r+1)} \ge \frac12$ es decir $\alpha^{-\frac12n} \ge \frac12$ o $\alpha^n \le 4$ .

Así, (si $n$ es par) podemos elegir $n$ números reales tales que para cualesquiera tres distintos $x,y,z$ entre ellos, tenemos

$$\max\left(\left|\dfrac{x-y}{x-z}\right|,\left|\dfrac{x-z}{x-y}\right|\right) \ge 4^{1/n}$$

Esto es asintóticamente mucho mejor que el límite solicitado de $1 + n^{-1.6}$ En efecto, $4^{1/n}$ se comporta como $1 + \dfrac{\ln 4}{n}$ para grandes $n$ .

Si $n$ es impar, podemos utilizar la construcción anterior para $n+1$ y simplemente eliminar un punto.