¿Puede alguien indicarme un artículo, o mostrar aquí, por qué las matrices simétricas tienen vectores propios ortogonales? En particular, me gustaría ver la prueba de que para una matriz simétrica $A$ existe una descomposición $A = Q\Lambda Q^{-1} = Q\Lambda Q^{T}$ donde $\Lambda$ es diagonal.
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¿Demasiados anuncios?
Daniel Li
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Obsérvese que una matriz simétrica real es un operador lineal en el espacio euclidiano con respecto a una base estándar (ortonormal). Por lo tanto, el hecho de que sea igual a su transposición conjugada implica que es autoconjunta.
Para dos valores propios distintos $\lambda_1, \lambda_2$ y los correspondientes vectores propios $v_2, v_2$ , $$(\lambda_1-\lambda_2)<v_1, v_2>=<Tv_1,v_2>-<v_1,\bar{\lambda_2} v_2>=<Tv_1,v_2>-<v_1,T^* v_2>=0$$ donde la 2da. última igualdad se desprende de las propiedades del operador lineal autoadjunto (por lo tanto, normal) (Lema siguiente).
Lema: Supongamos que $T$ es normal. Si $(\lambda, v)$ es el valor propio y el vector propio de $T$ , $(\bar{\lambda}, v)$ es el valor propio y el vector propio del adjunto $T^*$ . (pf.) Trivial de la definición de normalidad.
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¿Se está perdiendo $A$ ¿en algún lugar de esa ecuación?
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Si $A$ es simétrica, tenemos $AA^* = A^2 = A^*A$ así que $A$ es normal. La afirmación se deduce entonces directamente del teorema espectral. Así que basta con ir a leer cualquier demostración del teorema espectral, hay muchas copias disponibles en Internet.
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La afirmación es imprecisa: los vectores propios correspondientes a valores propios distintos de una matriz simétrica deben ser ortogonales entre sí. Los vectores propios correspondientes al mismo valor propio no tienen por qué ser ortogonales entre sí. Sin embargo, como cada subespacio tiene una base ortonormal, se pueden encontrar bases ortonormales para cada eigenespacio, por lo que se puede encontrar una base ortonormal de los vectores propios.
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@ArturoMagidin Esa fue una parte de mi confusión: Sabía que tenía que ser cierto para valores propios distintos, pero no podía demostrar que fuera cierto en caso contrario, pero ¿cómo encontramos $Q\Lambda Q^T = A$ ?
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@Phonon: Es falso por otra parte, pero se puede encontrar una base para el eigespacio formada por eigenvectores ortogonales: basta con tomar cualquier base para el eigespacio, y aplicar la Gram-Schmid. Una vez que se tiene una base de vectores propios para todos los $\mathbb{R}^n$ , $Q$ es la matriz cuyas columnas son los elementos de la base.
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@Phonon: Me permito añadir: si ya sabías que era cierto para valores propios distintos, ¿por qué no lo dijiste en tu pregunta? Me habría ahorrado el trabajo de escribirlo, y entonces habría quedado claro cuál era tu duda: podrías haber obtenido una respuesta que no recondujera cosas que ya sabías.
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@ArturoMagidin, Lo siento, probablemente se me escapa algo tonto y obvio, pero si tenemos matriz $Q$ y aplicarle Gram-Schmidt para obtener $\tilde{Q}$ ¿Cómo sabemos que $Q\Lambda Q^{-1} = \tilde{Q} \tilde{\Lambda} \tilde{Q}^{-1}$ donde $\tilde{\Lambda}$ ¿sigue siendo diagonal?
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@ArturoMagidin Sí, tienes razón. Creo que puedo intentar averiguar el resto por mi cuenta. Gracias.
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@Phonom. Dos formas diferentes: primero, puedes no computa $Q$ hasta después de tienes una base ortonormal de vectores propios. Segunda forma: Trabajar la otros manera: Tienes $\Lambda = Q^{-1}AQ$ . Ahora hay que ortonormalizar el columnas de $Q$ multiplicando a la derecha por matrices elementales, y ajustar la inversa multiplicando por la inversa de las matrices elementales. Así que en cada paso se obtiene $E^{-1}\Lambda E = E^{-1}Q^{-1}AQE$ . Pero $E^{-1}\Lambda E$ es diagonal, por lo que se obtiene $\Lambda' = Q'AQ'^{-1}$ . Espuma, enjuague, repita hasta que $Q^{-1}$ tiene columnas ortonormales.
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math.stackexchange.com/questions/393149/
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¿Cómo se llama A^*? ¿Conjugado matemático?