Así que, básicamente, quiero demostrar que el valor de $$\begin{vmatrix} ax-by-cz & ay+bx & cx+az\\ ay+bx & by-cz-ax & bz+cy\\ cx+az & bz+cy & cz-ax-by\\ \end{vmatrix}$$ es igual a $$(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)(ax+by+cz)$$
$\mathbf {What}$ $\mathbf {I} $ $\mathbf{have} $ $\mathbf{tried}$ : Me he dado cuenta de que se trata de una matriz simétrica, pero no puedo continuar con esa idea. A continuación, he probado a multiplicar la fila $1,2,3$ con $yz, xz, xy$ respectivamente sin suerte. También hice algunas transformaciones pero no sirvieron de nada de nuevo.
Gracias de antemano.
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Stephan Aßmus
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Escribir vectores columna $A,X$ como evidente. Su matriz es el resultado de comenzar con $$ A X^T + X A^T $$ y restando (utilizando el producto punto tradicional) $$ (A \cdot X) I. $$
La utilidad es que conocemos los pares propios (valor propio, vector propio) de $A X^T + X A^T,$ a saber (utilizando el producto cruzado tradicional) $$ 0, \; \; A \times X, $$ $$ (A \cdot X) + |A||X|, \; \; |X|A + |A|X, $$ $$ (A \cdot X) - |A||X|, \; \; |X|A - |A|X. $$
Ahora resta $(A \cdot X)I,$ los pares propios son $$ -(A \cdot X), \; \; A \times X, $$ $$ |A||X|, \; \; |X|A + |A|X, $$ $$ - |A||X|, \; \; |X|A - |A|X. $$
El producto de los valores propios es $$ (A \cdot X) |A|^2 |X|^2 $$
EJEMPLO: $$ A^T = (2,3,6), \; \; |A| = 7, $$ $$ X^T = (2,6,9), \; \; |X| = 11, $$ $$ A \cdot X = 76 $$ ya que están cerca de ser paralelos. $$ A X^T + X A^T = \left( \begin{array}{rrr} 8 & 18 & 30 \\ 18 & 36 & 63 \\ 30 & 63 & 108 \end{array} \right) $$ restar $76I,$ $$ \left( \begin{array}{rrr} -68 & 18 & 30 \\ 18 & -40 & 63 \\ 30 & 63 & 32 \end{array} \right) $$ Los vectores propios son el producto cruzado (dividido entre 3), entonces $11A + 7 X,$ que dividí por un 3 común, entonces $11A - 7 X.$ Matriz con vectores propios como columnas $$ \left( \begin{array}{rrr} 3 & 12 & 8 \\ 2 & 25 & -9 \\ -2 & 43 & 3 \end{array} \right) $$ valores propios $$ -76, 77, -77 $$
Matthew Scouten
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JeanMarie
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Dejemos que $A=\begin{pmatrix} ax-by-cz & ay+bx & cx+az\\ ay+bx & by-cz-ax & bz+cy\\ cx+az & bz+cy & cz-ax-by\\ \end{pmatrix}.$
Dejemos que
$$\tag{1}B:=A+(ax+by+cz)I_3=\begin{pmatrix} 2ax & ay+bx & cx+az\\ ay+bx & 2by & bz+cy\\ cx+az & bz+cy & 2cz\\ \end{pmatrix}$$
y
$$\tag{2}V:=(bz-cy,cx-az,ay-bx)^T.$$
Es fácil demostrar que $B*V=0$ . Así, $\lambda_1:=-(ax+by+cz)$ es un valor propio de $A$ .
Un ángulo de ataque es utilizando el hecho de que el determinante de una matriz es el producto de sus valores propios.
Al observar el resultado, uno debería estar tentado a considerar que los otros valores propios son $\pm(x^2+y^2+z^2)$ y $\pm(a^2+b^2+c^2)$ . No se puede decir tal cosa, pero, de hecho, se puede escribir por división larga, el polinomio característico de la matriz $A$ bajo la forma :
$$\chi_A(\lambda)=-(\lambda-\lambda_1)(\lambda^2-\mu) \ \ \text{with} \ \ \mu:=(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2).$$
demostrando que $\det(A)$ es el producto $\lambda_1 * A$ como "menos el término constante del polinomio característico".
Observaciones:
1) Mathematica ha sido muy útil...
2) Apostaría a que hay una interpretación geométrica para la matriz $A$ porque, por ejemplo, $ax+by+cz$ es el producto punto de $(a,b,c)^T$ y $(x,y,z)^T$ mientras que el vector $V$ definido en (2) es su producto cruzado . Pero no he podido encontrar uno...
Editar: la solución dada por Will Jagy da una respuesta muy satisfactoria a la Observación 2.
