Encontrar un límite utilizando la serie de Taylor.

Question

Entonces el límite es el siguiente:

PS

Las expansiones para$$\lim_{x \to 0}{\frac{x^2-\frac{x^6}{2}-x^2 \cos (x^2)}{\sin (x^{10})}}$ y$\sin(x)$ se dan:

$\cos(x)$ $$$\sin x = x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-...+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + o(x^{2n})$ $

Esto es lo que intenté:$$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$ $

Aquí es donde estoy atrapado. Me di cuenta de que el problema se produce al gastar$$\lim_{x->0}{\frac{x^2-\frac{x^6}{2}-x^2(1-\frac{x^4}{2}+\frac{x^8}{4!}+o(x^{2*5}))}{x^{10}+o(x^{10*2})}}=\lim_{x->0}{\frac{-\frac{x^{10}}{4!}-o(x^{12})}{x^{10}+o(x^{20})}}$. ¿Que me estoy perdiendo aqui?

Answer 1

El numerador es$$x^2-\frac{x^6}2-x^2\Bigl(1-\frac{x^4}2+\frac{x^8}{24}+o(x^8)\Bigr)=-\frac{x^{10}}{24}+o(x^{10}),$ $ por lo tanto$$\frac{x^2-\cfrac{x^6}{2}-x^2 \cos (x^2)}{\sin (x^{10})}\sim_0\frac{-\dfrac{x^{10}}{24}}{x^{10}}=-\frac1{24}.$ $

* Nota de los editores: Lo sentimos, no puedo dejar comentarios todavía. Cuando tenga en cuenta el$-x^2$, terminará con$-\frac{1}{24}$.

Answer 2

¿Qué hay de factoring por$x^{10}$?

Answer 3

Otra forma es tener en cuenta que$\frac{\sin x^{10}}{x^{10}} \to_x 1$, para que obtengas tu$x^{10}$ en el denominador.

Answer 4

PS

PS

La cancelación de términos en el numerador simplifica la ecuación a:

PS

Los otros términos de la serie son innecesarios, por lo que

PS