Función característica y transformación variable aleatoria

Question

Deje que$X$ sea una variable aleatoria, y deje que$\phi_X(t)$ sea su función característica. Sea$Y = f(X)$ una transformación de la variable aleatoria$X$ donde$f$ está aumentando y uno a uno. ¿Existe una relación funcional directa entre la función característica de la transformación$f(X)$ y la función característica$\phi_X(x)$? Es decir, si$\phi_Y(t)$ es la función característica de la variable aleatoria$f(X)$, ¿podemos escribir$\phi_Y(t)$ en términos de$\phi_X(t)$?

Answer 1

Si $Y=g(X)$ (permítanme usar $g$, reservándose $f$ para las densidades) :

Entonces $$ \phi_Y(t)=E(e^{i Yt})=\int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y) e^{i y t} dy= \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) e^{i g(x) t} dx=\\ =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \phi_X(s) e^{-i s x } ds \, e^{i g(x) t} dx $$

Por supuesto, esto es más bien trivial ( $ \phi_X(t) \to f_X(x) \to f_Y(y) \to \phi_Y(t)$) y formal (la fórmula no es práctico, no da una buena o una simple relación entre el $\phi_Y(t)$ $\phi_X(t)$ pero no veo por qué usted esperaría que puede ser simplificado.

Answer 2

Esto es lo que sería un contraejemplo: si$X \sim R[0,1]$ y$Y \sim N(X, \sigma^2)$, entonces el MGF de$X$ sería$\frac{e^t-1}{t}$ y el MGF de$Y$ sería$e^{xt+\frac{\sigma^2 t^2}{2}}$ y dudo que haya una manera de expresar esto último a través del primero.