Cómo probar $\sum^{n}_{k=1}\sin^2\left(x+ \frac{\pi(k-1)}{n} \right)=\frac{n}{2}$

Question

Agradecería que alguien me ayudara con el siguiente problema:

P: ¿Cómo se prueba? $(x\in \mathbb{R})$ $$\sum^{n}_{k=1}\sin^2\left(x+ \frac{\pi(k-1)}{n} \right)=\frac{n}{2}$$

Answer 1

Como el comentario de Nikunj, la condición $n\ge 2$ es necesario. En primer lugar, afirmamos que \begin {align} \sum_ {k=1}^n \cos\left (x+ \frac {2 \pi (k-1)}{n} \right )=0. \end {align} Obsérvese que \begin {align} & \sum_ {k=1}^n \cos\left (x+ \frac {2 \pi (k-1)}{n} \right ) \\ & \quad = \sum_ {k=1}^n \cos\left (x+ \frac {2 \pi (k-1)}{n} \pm\frac {2 \pi }{n} \right ) \\ & \quad = \sum_ {k=1}^n \left [ \cos\left (x+ \frac {2 \pi (k-1)}{n} \right ) \cos\left ( \frac {2 \pi }{n} \right ) \mp\sin\left (x+ \frac {2 \pi (k-1)}{n} \right ) \sin\left ( \frac {2 \pi }{n} \right ) \right ] \tag {1} \end {align} porque cada rotación $\frac{2\pi}{n}$ en sentido contrario a las agujas del reloj o en sentido de las agujas del reloj no altera la suma de $\cos$ 's. Así, combinando la ecuación $(1)$ tenemos \begin {align} &2 \sum_ {k=1}^n \cos\left (x+ \frac {2 \pi (k-1)}{n} \right ) =2 \sum_ {k=1}^n \cos\left (x+ \frac {2 \pi (k-1)}{n} \right ) \cos\left ( \frac {2 \pi }{n} \right ) \end {align} o \begin {align} \left [1- \cos\left ( \frac {2 \pi }{n} \right ) \right ] \sum_ {k=1}^n \cos\left (x+ \frac {2 \pi (k-1)}{n} \right )=0. \end {align} Por lo tanto, por la condición $n\ge 2$ La afirmación queda demostrada. Así que el resultado se deduce inmediatamente escribiendo \begin {align} \sum_ {k=1}^n \sin ^2 \left (x+ \frac { \pi (k-1)}{n} \right ) &= \sum_ {k=1}^{n} \frac {1- \cos\left (2x+ \frac {2 \pi (k-1)}{n} \right )}{2} \\ &= \frac {1}{2} \left [ \sum_ {k=1}^n1- \sum_ {k=1}^n \cos\left (2x+ \frac {2 \pi (k-1)}{n} \right ) \right ] \\ &= \frac {1}{2}(n-0) \\ &= \frac {n}{2}. \end {align}

Answer 2

Sugerencia . Se puede observar que $$ \sin^2\left(x+ \frac{\pi(k-1)}{n} \right)=\frac12- \frac12\cos\left(2x+ \frac{2\pi(k-1)}{n} \right) $$ entonces se puede utilizar el resultado estándar $$ \sum_{k=1}^n\cos\left(a+ (k-1)t \right)=\frac{\cos\left(a+\frac{(n-1)t}2\right)\sin\frac{nt}2}{\sin\frac{t}2} $$ (se puede encontrar una prueba de esto último similar a este ).

Answer 3

Primer paso, puedes cambiar tu suma a $$\sum _{k=1}^n \sin ^2\left(\frac{\pi (k-1)}{n}+x\right) = \frac{1}{4} \left(\csc \left(\frac{\pi }{n}\right) \sin \left(\frac{-2 n x-2 \pi n+\pi }{n}\right) - \csc \left(\frac{\pi }{n}\right) \sin \left(\frac{\pi -2 n x}{n}\right)+2 n\right).$$

Entonces, es sencillo ver que es igual a $\dfrac{n}{2}$ .