Campo de división de$x^3 - 2$ sobre$\mathbb{F}_5$

Question

Tengo algunas dificultades para encontrar el grado de división del campo de un polinomio sobre un campo finito. En particular,$f = x^3 - 2$ sobre$\mathbb{F}_5$.

Este polinomio factoriza como$f(x) = (x-3)(x^2 + 3x + 4)$ sobre este campo. También sé que el grado del campo de división debe, como máximo,$3! = 6$. Ahora quiero decir que el campo de extensión es$\mathbb{F}_5[x] / (x^2 + 3x + 4)$, en cuyo caso la extensión sería el grado 2, pero ¿cómo sé que todas las raíces de$x^2 + 3x + 4$ están en este campo de extensión?

Gracias

Answer 1

Llamada $K= \mathbb{F}_5[x]/(x^2+3x+4)$. Entonces el polinomio$x^2+3x+4 \in \mathbb{F}_5[x]$ tiene una raíz$\alpha \in K$. Pero ahora, uno puede escribir$$x^2+3x+4 = (x- \alpha)g(x) para algunos$g \in K[x]$. Dado que el grado de$x^2+3x+4$ es 2 y el grado de$x- \alpha$ es 1,$g$ debe ser un polinomio de grado 1, por lo que tiene una raíz$\beta \in K$.

Ahora,$x^2+3x+4$ puede tener como máximo dos raíces, por lo que$\alpha, \beta \in K$ son todos ellos.

Answer 2

Indica$\mathbb{K} = \mathbb{F}_5[x] / (x^2 + 3x + 4)$. Sabemos que$x^2 + 3x + 4$ tiene un cero en$\mathbb{K}$. Mediante el algoritmo de división euclidiana, podemos escribirlo como un producto de dos polinomios en$\mathbb{K}[x]$ de grado$1$. ¡Significa que todas sus raíces están en$\mathbb{K}$!