Definición de cifras significativas

Question

Normalmente, cuando nos enseñan a sumar números con respecto a las cifras significativas, nos dicen que hay que redondear el resultado al lugar más a la derecha del dígito menos preciso. $3.55 + 4 = 7.55$ por ejemplo, se redondearía a $8$ . Pero para mi argumento voy a considerar la suma de dos números $9$ y $2$ , ambos significativos para el dígito uno.

Siguiendo la regla habitual de la suma, $9 + 2 = 11$ y ahora tenemos dos cifras significativas. Sin embargo, siempre que pienso en las cifras significativas me vienen a la cabeza estas dos definiciones:

1 - Dígitos a la derecha del último dígito significativo, puede ser cualquier número entre 0 y 9.

2 - Cualquier dígito que tenga la posibilidad de ser más de un valor numérico valor numérico, no es un dígito significativo.

Utilizando la primera definición, podemos poner $9$ y $2$ en estas formas:

$9.A$

$2.B$

donde $A$ y $B$ son dígitos arbitrarios que van desde $0$ a $9$ . Así, al sumar estos dos números, terminaríamos con:

$$9.A + 2.B$$

$$= 9 + 2 + 0.A + 0.B$$

$$= 11 + 0.A + 0.B$$

Finalmente, cuando asignamos algunos valores significativos a $A$ y $B$ como $(A , B) = (0 , 0)$ o $(A , B) = (9 , 9)$ podemos observar algo muy interesante:

• Para $(A , B) = (0 , 0)$ :

$$11 + 0.0 + 0.0 = 11$$

• Para $(A , B) = (9 , 9)$ :

$$11 + 0.9 + 0.9 = 12.8$$

En el conjunto de todos los números posibles que pueden resultar de la suma de $9.A$ y $2.B$ ambos son significativos para el dígito uno, el mínimo resulta ser es $11$ y el máximo resulta ser $12.8$ (el conjunto se hace aún mayor si añadimos más dígitos inciertos a la derecha de $A$ y $B$ y en ese caso el valor máximo resultante empieza a acercarse a $13$ a medida que se añaden más y más 9's a ambos $9$ y $2$ ).

Por último, podemos ver que la cifra de las decenas es siempre $1$ y utilizando mi segunda definición de dígitos significativos, podemos afirmar que el dígito de las decenas es significativo. Por otro lado, como el dígito de las unidades puede ser $1$ o $2$ El dígito de la unidad no es significativo. Así, utilizando mis dos definiciones de cifras significativas, podemos afirmar que la suma entre $9$ y $2$ resulta en una cifra significativa (en el lugar de las decenas), en lugar de dos cifras significativas que se obtendrían de la regla general.

Así que mi pregunta es, ¿son correctas mis definiciones de los dígitos significativos? Si la respuesta es afirmativa, entonces puedo decir que las reglas generales para sumar números con cifras significativas son erróneas y se enseñan y aprenden ciegamente en los institutos y universidades. Si no, entonces puede mostrarme por qué no y si tiene alguna fuente creíble.

Answer 1

Las reglas de los dígitos significativos estándar suponen que los valores con los que se trabaja son redondeado versiones de los valores reales. Por lo tanto, no puedes tomar (A, B) = (9,9) en tu ejemplo, porque 9,9 se habría redondeado a 10, no a 9.

Ten en cuenta también que 8,9 se redondea a 9, por lo que no puedes suponer que el valor verdadero tenga la forma "9,A".

Answer 2

Hay cierta incoherencia en el uso. Algunas personas cuentan los dígitos significativos a partir del punto decimal, lo que funciona bastante bien cuando el rango posible de valores es razonablemente pequeño. Para que la regla que citas (y otras relacionadas con el análisis y la propagación de errores) se aplique con coherencia, hay que empezar a contar los dígitos significativos desde el primer dígito distinto de cero de la izquierda. Esto equivale a escribir todos los números en notación científica y simplemente contar los dígitos empezando por la izquierda.

En tu ejemplo, entonces, estás añadiendo en realidad $9\times10^0$ y $2\times10^0$ . Ambos exponentes son iguales por lo que no es necesario ajustar antes de realizar la suma. Su suma es $1.1\times10^1$ pero esto tiene demasiados dígitos significativos, por lo que se redondea a $1\times 10^1$ o $10$ .

Sin embargo, hay una ambigüedad con la que hay que lidiar: ¿cuántas cifras significativas tiene un número entero que termina con una cadena de ceros? Un número como $1000$ puede hacer que la precisión de un cálculo se colapse muy rápidamente si no se maneja correctamente. Esta es otra de las ventajas de la notación científica en este contexto: no existe esa ambigüedad. Los ceros finales, si los hay, son dígitos significativos.

Answer 3

Aquí hay dos cuestiones. El número de dígitos significativos y el grado de redondeo apropiado. Ambos son conceptos resbaladizos con definiciones y consejos aparentemente diferentes en distintos ámbitos. Aquí me centraré principalmente en el redondeo. El punto crucial es no desechar información que puede ser útil. He aquí algunos ejemplos para reflexionar.

$1.$ Distinciones entre individuos y promedios. Si una persona pierde un kilo durante un mes, no suele ser un hecho significativo. En el proceso de comer, beber, hacer ejercicio o eliminar, una persona puede ganar o perder temporalmente una libra durante un día. Sin embargo, si hay una media El aumento o la pérdida de una libra para 100 sujetos durante un programa de pérdida de peso de un mes, puede ser un cambio significativo, si no sorprendente. Por lo tanto, para la mayoría de los propósitos, probablemente sea apropiado redondear los pesos de los individuos a la libra más cercana y redondear los pesos de los grupos a la décima de libra más cercana.

$2.$ Redondeo prematuro. En un famoso estudio sobre los chicos de los internados de la India, se estableció que los estudiantes tenían una $cm$ más corto por la tarde que por la mañana. Cada estudiante fue medido dos veces por cada uno de los dos investigadores, por la mañana y de nuevo por la tarde. Aunque no es posible medir la altura con precisión medir la altura con una precisión milimétrica, se intentó hacerlo en las ocho mediciones de cada niño. Si todas las mediciones originales se hubieran redondeado al centímetro más cercano, el "1 $cm$ ", la diferencia no habría sido tan clara. Además, resultó que uno de los investigadores midió sistemáticamente a los estudiantes como un poco más altos que el otro, y ese hallazgo podría haber sido totalmente oscurecido por el redondeo al centímetro más cercano.

$3.$ Redondeo antes de las pruebas estadísticas. Algunos tipos de pruebas estadísticas basadas en el rango no funcionan bien si hay muchos empates en datos teóricamente continuos. Por lo tanto, al realizar estas pruebas, hay que tener cuidado con el redondeo de las medidas antes de realizar la prueba.

Ejemplo: Una breve simulación muestra el efecto del redondeo. Supongamos que una determinada medida en la población puede modelarse a efectos prácticos como normal con una media de 400 y una desviación estándar de 60. En la práctica, estas mediciones suelen abarcar un intervalo como $(260,540).$ Si simulamos 100 mediciones de este tipo y las registramos con una precisión de 0,1, normalmente habrá pocos o ningún en el caso que se muestra a continuación:

x = rnorm(100, 400, 60)
length(unique(round(x,1)))
## 99

Pero si redondeamos a la cifra más cercana entero, no es raro que se produzcan hasta hasta 10 o 15 empates (suficientes para que el análisis basado en el rango sea problemático).

length(unique(round(x)))
## 87

$4.$ Normas autorizadas. Mi opinión es que las reglas de redondeo en matemáticas matemáticas no son apropiadas en la práctica estadística. Los gobiernos y las industrias suelen adoptar normas de práctica para el redondeo que se centran en un redondeo que simplifica sin sacrificar información útil. Este informe por el Instituto Nacional de Ciencia y Tecnología de Estados Unidos es un ejemplo. No pretendo que estas normas sean siempre ideales, pero están se basan en la reflexión de personas que manejan datos del mundo real.