Probar que el límite de la línea integral es 0.

Question

Demuestre que$$\lim_{\rho\to0}\int_{C_\rho} \frac{z^{1/3}\log z}{z^2+1}dz=0$$ $ (| z |> 0, - \ pi / 2 <\ arg z <3 \ pi / 2) $

donde$C_\rho$ es la mitad superior del círculo con el radio$\rho<1$ centrado en el origen orientado hacia la derecha.

Mi intento:

A lo largo de$C_\rho$,

$|z^2+1|\ge||z^2|-|1||=|\rho^2-1|=1-\rho^2$

$\displaystyle\left|\frac{z^{1/3}\log z}{z^2+1}\right|=\frac{\rho^{1/3}|\log z|}{|z^2+1|}\le \frac{\rho^{1/3}|\log z|}{1-\rho^2}$

Necesito encontrar un límite superior$M$ para la expresión anterior en términos de$\rho$, para poder usar

$\displaystyle\left|\int_{C_\rho} \frac{z^{1/3}\log z}{z^2+1}dz\right|\le M\pi\rho$

y luego probar que$$\lim_{\rho\to0}M\pi\rho=0$ $

Answer 1

Deje $f(z)=\frac{z^{1/3}\log(z)}{z^2+1}$ y seleccionar la rama del logaritmo para que

$$-\pi/2 \le \arg(z) < 3\pi/2$$

Tenga en cuenta que en $C_{\rho}$, $z=\rho e^{i\phi}$ donde $\phi$ comienza en $\pi$ y termina a las $0$. Entonces, podemos escribir

$$\begin{align} \left|\int_{C_{\rho}}\frac{z^{1/3}\log(z)}{z^2+1}\,dz\right|&=\left|\int_\pi^0\frac{\rho^{1/3}e^{i\phi/3}(\log(\rho)+i\phi)}{\rho^2e^{i2\phi}+1}\,i\rho e^{i\phi}\,d\phi\right|\\\\ &\le \rho^{4/3} \int_0^\pi \frac{\log^2(\rho)+\phi^2}{\sqrt{\rho^4+2\rho^2\cos(2\phi)+1}}\,d\phi\\\\ &\le \frac{\pi \rho^{4/3}(\log^2(\rho)+\pi^2)}{1-\rho^2} \tag 1 \end{align}$$

Ahora, es evidente que $\lim_{\rho \to 0}\frac{\pi \rho^{4/3}(\log^2(\rho)+\pi^2)}{1-\rho^2} =0$. Si necesitamos encontrar un número $M$ tal que

$\frac{\pi \rho^{4/3}(\log^2(\rho)+\pi^2)}{1-\rho^2} \le M \pi \rho$

primero debemos restringir $\rho$. Nos restringir arbitrariamente $\rho \le 1/2$. Entonces, tenemos

$$\frac{\pi \rho^{4/3}(\log^2(\rho)+\pi^2)}{1-\rho^2} \le \left(\frac{(1/2)^{1/3}(\log^2(2)+\pi^2)}{3/4}\right)\,\pi \rho$$

Por lo tanto, para $\rho\le 1/2$, podemos escribir

$$\frac{\pi \rho^{4/3}(\log^2(\rho)+\pi^2)}{1-\rho^2} \le M\,\pi \rho$$

donde $M$ está dado por

$$M=\frac{2^{5/3}}{3} (\log^2(2)+\pi^2)$$