Convergencia de$\sum a_n$ donde$a_n$ se define recursivamente

Question

Deje $a_1 = 1$ y $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{4}+\frac{\left(-1\right)^n}{2}$$

Pregunta: Cómo mostrar que $\sum a_n$ converge, es decir, $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n< \infty$$

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Yo soy capaz de demostrar, que al menos $a_n\rightarrow 0$ que es un necessasy condición para la convergencia:

Primero el subsequence $\left(a_{2k}\right)$ tiende a cero, porque contiene

$$\frac{a_{2k+2}}{a_{2k}}=\frac{a_{2k+2}}{a_{2k+1}}\cdot \frac{a_{2k+1}}{a_{2k}} = \frac{5}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{5}{16}<1$$

Ahora tenga en cuenta que $$a_{2k+3} = a_{2k+2}\cdot \left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)=a_{2k}\cdot\frac{5}{16}\cdot\frac{5}{4}=a_{2k}\frac{25}{64}$$ Por lo tanto $a_{2k+3}$ y, por tanto, $a_{2k+1}$ y, en consecuencia, $a_k$ tiende a cero también.

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Sin embargo, yo no era capaz de mostrar la convergencia de la serie antes mencionada. Traté de aplicar la ración de la prueba, a raíz de la prueba, pero no he encontrado una respuesta. Pensé acerca de la comparación de $\sum a_n$ con algún tipo de geométrica de la suma, pero no he encontrado una expresión apropiada para comparar con

Answer 1

Tenga en cuenta que los términos pares de su secuencia forman una progresión geométrica, al igual que los términos impares, y que ambas progresiones tienen una proporción menor que$1$ (como nota,$5/16$, de hecho), así que sume los términos impares y los términos pares por separado.

Answer 2

Insinuación.

Demuestre que las series$\sum a_{2k}$ y$\sum a_{2k + 1}$ (que consisten respectivamente en los términos pares e impares de$\sum a_n$) son series geométricas convergentes.

Demuestre que esto implica la convergencia de$\sum a_n$.