La integridad de la Titular del Espacio

Question

¿Cómo puedo demostrar que el espacio de complejo de funciones con valores en $[0,1]$ tal que

$$|f(x) -f(y)| < C|x-y|^\frac{1}{2}$$ con la norma

$$\|f\| = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)| + \inf C$$ where inf is over the constants such that the holder bound holds, is a Banach space? $C$ depende de la función.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\inf C$ para una función $f$ es mejor descrito como $$\sup_{x, y \in [0,1], x \ne y} \frac{|f(x) - f(y)|}{|x - y|^{1/2}}$$

Observe también que $f$ es Hölder continua si y sólo si este supremum es finito.

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Deje $(f_n)_n$ ser una secuencia de Cauchy de Hölder funciones continuas w.r.t $\|\cdot\|$.

Desde $\|\cdot\|_\infty \le \|\cdot\|$ se sigue que $(f_n)_n$ es de Cauchy w.r.t $\|\cdot\|_\infty$. Recordemos que $(C[0,1], \|\cdot\|_\infty)$ es un espacio de Banach de modo que existe $f \in C[0,1]$ tal que $f_n \xrightarrow{n\to\infty} f$ uniforme (es decir, $f_n$ es, precisamente, el pointwise límite de $f_n$).

Tenemos que mostrar que $f_n \xrightarrow{\|\cdot\|} f$ y $f$ es Hölder continua.

Vamos $\varepsilon > 0$. $(f_n)_n$ es de Cauchy w.r.t $\|\cdot\|$, por lo que no existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $m, n \ge N \implies \|f_m - f_n\| < \frac\varepsilon3$.

En particular, el $\|f_m - f_n\|_\infty < \frac\varepsilon3$, por lo que dejando $m\to\infty$ obtenemos $\|f - f_n\|_\infty < \frac\varepsilon3$.

Por otro lado, para todos los $x,y \in [0,1], x \ne y$ también tenemos

$$\frac{|f_m(x) - f_m(y) - (f_n(x) - f_n(y))|}{|x - y|^{1/2}} < \frac\varepsilon3$$

Dejando $m\to\infty$ tenemos

$$\sup_{x, y \in [0,1], x \ne y}\frac{|f(x) - f(y) - (f_n(x) - f_n(y))|}{|x - y|^{1/2}} \le \frac\varepsilon3$$

Poner esto juntos, obtenemos que para todos los $n \ge N$ tiene $\|f - f_n\| \le \frac{2\varepsilon}3 < \varepsilon$. De ello se desprende que $f_n \xrightarrow{\|\cdot\|} f$.

Ahora, para cualquier $n \ge N$ hemos

$$\|f\| \le \|f - f_n\| + \|f_n\| < \varepsilon + \|f_n\| < +\infty$$

así llegamos a la conclusión de que $f$ es Hölder continua.

Por lo tanto, el espacio de Hölder funciones continuas equipado con $\|\cdot\|$ es un espacio de Banach.

También ver aquí una prueba sobre un poco diferente de la norma en Hölder funciones continuas.