¿Cómo uno muestra que el círculo unitario no admite ninguna parametrización polinomio? ¿Lo que se necesita para esto, existen criterios generales? Gracias
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SUGERENCIA $\rm\: \ f^{\:2} + g^2 = 1 \ \Rightarrow\ \gcd(f,g) = 1\:,\ $ $\rm\ f\ f\:' = - g\ g\:'\ \Rightarrow\ f\ |\ g'\ \Rightarrow f,\:g\:$ constante a través de $\rm\:\deg\: f\: =\: \deg\: g$
Alternativamente $\rm\ \ (f-i\ g)\ (f+i\ g)\ =\ 1\ \Rightarrow\ f-i\ g\ =\ c,\ f+i\ g \ =\ d\ $ donde $\rm\:c\:,d\:$ son constantes.
Por lo tanto, $\rm\ \ f\ =\ (c+d)/2,\ \ g \ =\ (c-d)\:i/2\ $ son constantes.
La generalización mencionado por Robert Israel se remonta al menos a Iyer, 1939, de acuerdo a Ribenboim, $\:$ 13 Conferencias sobre el Último Teorema de Fermat, p. 265, $\:$ presentado a continuación.$\ $ Véase también Burckel, $\ $ Una Introducción al Análisis Complejo Clásico, p. 433, donde demuestra, además, que $\rm\ f^n + g^n = 1\ $ para toda la $\rm\:f,\:g\:,\:$ $\rm\: n > 2\ \Rightarrow\ f,\:g\:$ constante, el uso de la Picard poco y teorema de la carta Abierta Teorema.
Matthew Scouten
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De manera más general, supongamos $f$ $g$ son funciones analíticas en un simplemente conectado el dominio$U$$f^2 + g^2 = 1$, es decir, $(f+ig)(f-ig) = 1$, lo $f + i g$ es una analítica de la función en $U$ que nunca es 0. Esto implica $f + i g = e^h$ para algunos la función $h$ analítica en $U$. Ahora $f - i g = 1/(f + i g) = e^{-h}$. Luego tenemos la $f = (e^h + e^{-h})/2 = \cos(h)$$g = (e^h - e^{-h})/(2 i) = \sin(h)$. Por el contrario, por supuesto, $f = \cos(h)$ $g = \sin(h)$ satisfacer la ecuación de $f^2 + g^2 = 1$ para cualquier función de $h$.
Ahora toma el dominio de $\mathbb C$; es fácil demostrar que para cualquier función no constante $h$ analítica en un barrio de $\infty$, $\sin(h)$ y $\cos(h)$ tienen ya sea removible o esencial singularidades en $\infty$, y por lo tanto no pueden ser polinomios.
user8268
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Aunque pasa la línea en el infinito dos veces (homog. ecuación $x^2+y^2=z^2$ tiene 2 soluciones con $z=0$ (hasta reescalado): (1, i, 0) y (1,-i, 0)). Por lo tanto cualquier parametrización racional $x(t),y(t)$ del círculo tiene que tener 2 polos (es decir, $x(t)$ tiene 2 polos y también lo hace en $y(t)$), por lo que $x(t),y(t)$ no puede ser polinomios (polinomios tienen solamente un polo, al $t=\infty$).
