Fórmula para el número de "adición de construcciones, de un entero positivo

Question

Yo estaba trabajando en un lugar fresco matemáticas problema y se ha inspirado en uno de los mini lemas tuve que hacer en el fin de resolver el problema. A partir de entonces, he estado tratando de encontrar una fórmula que para cualquier entero positivo, da el número de formas en que puede ser "construido" como una suma de pequeños enteros positivos. Ejemplo: para 5, usted puede tener: 1+1+3, 2+3, 1+4, 1+1+1+1+1, etc.

Encontrar una fórmula que considera (ejemplo) 1+1+3, 3+1+1 y 1+3+1 como único "construcciones" resultó no ser demasiado duro (de hecho he re-descubierto ;P 2 fórmulas), sino de encontrar una fórmula para que mi objetivo original está resultando muy difícil para mí.

Por favor (no me wan no echar a perder la diversión y buscar las respuestas en wikipedia o algo así) que, dada una educación de escuela secundaria, en matemáticas, se podría potencialmente alcanzar la fórmula (como he estado tratando durante mucho tiempo ahora) o estoy perdiendo mi tiempo y debo buscar la respuesta (ya que es demasiado avanzado???)? Gracias.

Answer 1

Lo importante es que te has tropezado en todo un campo de las matemáticas!

Un método para escribir un entero $n$ como una suma de menor enteros, por ejemplo,$5$$4+1$, se denomina partición. Consideramos entero particiones como $1+4$ $4+1$ equivalente \begin{align} \exp(\cos x) &= \exp\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right)\\ &= e\left[1 + \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right) + \frac{1}{2}\left( -\frac{x^2}{2} + O(x^4)\right)^2 + O(x^6) \right]\\ &= e\left[ 1 - \frac{x^2}{2} + \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{8}\right) x^4 \right] + O(x^6)\\ &= e\left[ 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{6} \right] + O(x^6) \end entero particiones, el orden no importa!

Si usted dice que el orden importa, entonces llamamos a que una composición. Por ejemplo, para cualquier entero$n$, $2^n-1$ distintas composiciones. Por desgracia, la fórmula para el número de distintas particiones es mucho más difícil, es probable que requiere herramientas que actualmente no tienen.