Expansión de Taylor de $e^{\cos x}$

Question

Tengo que encontrar las 5 de la orden de expansión de Taylor de $e ^{\cos x}$. Yo sé cómo hacerlo mediante el cálculo de las derivadas de la función, pero el 5 de derivados es de aproximadamente una milla de largo, así que me preguntaba si hay una manera más fácil de hacerlo.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Sugerencia: la función de $f(x) = e^{\cos x}$ es incluso (que es, $f(x) = f(-x)$).

Answer 2

Usted puede comenzar con la expansión de Taylor de $\cos x$ y cuando se expanda $\exp(\cos x)$, usted acaba de tirar términos que sepas que no afectan al resultado final. Para la expansión de Taylor de orden inferior, la derivación es en realidad bastante corto y sencillo.

$$\begin{align} \exp(\cos x) &= \exp\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right)\\ &= e\left[1 + \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right) + \frac{1}{2}\left( -\frac{x^2}{2} + O(x^4)\right)^2 + O(x^6) \right]\\ &= e\left[ 1 - \frac{x^2}{2} + \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{8}\right) x^4 \right] + O(x^6)\\ &= e\left[ 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{6} \right] + O(x^6) \end{align} $$

Answer 3

Sugerencia $$e^{\cos x}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\cos x)^n}{n!}$$

Answer 4

Uso $$e^{\cos x}=e\cdot e^{\cos x-1}.$$ A continuación, sustituir el poder de expansión de la serie de $\cos x-1$ $t$ en el poder de expansión de la serie de $e^t$. Lo que hace de este trabajo es que la serie de $\cos x-1$ $0$ término constante. Para los términos en los poderes de $x$$x^5$, todo lo que necesitamos es la parte $1+t+\frac{t^2}{2!}$ de la energía de expansión de la serie de $e^t$, y sólo la parte $-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}$ de la expansión de la serie de $\cos x -1$.

Answer 5

Uno tiene que tener en cuenta el punto sobre el que estamos ampliando.

La pregunta no especifica, pero supongo que estamos hablando de la serie de taylor alrededor de x=0.

en primer lugar, en lugar de calcular los derivados (que rara vez es el mejor enfoque), usted puede notar que la función es una composición de dos funciones. ambos de los cuales usted probablemente sabe que la serie de taylor.

Lo que uno hace (esto es elemental, y si usted no sabe esto por el tiempo que se dan a la pregunta anterior, usted puede ser que necesite para volver a su libro de texto y revisar...) es calcular la serie de taylor de cos(x) alrededor de x=0 sustituimos en la serie de taylor de la función e^x

la serie de taylor son:

$$ \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+H. O. T. \\ e^x = 1 + () + \frac{()^2}{2!}+\frac{()^3}{3!}+H. O. T$$

sustituyendo en:

$$ e^{\cos(x)} = 1 + (1-\frac{x^2}{2!}+H.O.T.)+ \frac{(1-\frac{x^2}{2!}+H.O.T.)^2}{2!}+\frac{(1-\frac{x^2}{2!}+H.O.T.)^3}{3!}\\+H.O.T$$

Ahora hay un problema:

estamos ampliando cos(x) alrededor de x = 0 pero, no estamos expansión de e^x se acerca a cero, sino más bien acerca de cos(0), que = 1

Por lo tanto, usted tendría que usar la fórmula de la función e^x a, donde a=1

que es cada vez más complicado y pesado computacionalmente. La mejor manera de acercarse a este problema sería utilizar la sugerencia dada por André Nicolas.

$$e^{\cos x}=e\cdot e^{\cos x-1}.$$