No entiendo la definición de finalización de un $\sigma$ -álgebra

Question

Me estoy preparando para el examen hay una pregunta que no entiendo: supongamos que $(\Omega,\mathscr F,P)$ es el espacio de probabilidad donde $\Omega:=\{1,2,...,6\}$ , $\mathscr F:=\sigma(\{2,4,6\},\{1,3,5\})$ , $P(\{2,4,6\})=0$ . ¿Qué es el $P$ -finalización de $\mathscr F$ ?

Answer 1

Sugerencias :

1. $P(\{2,4,6\}) = 0$ y $P(\{1,2,3,4,5,6\}) = 1$ desde $P$ es la probabilidad. ¿Qué dice esto sobre $P(\{1,3,5\})$ ?
2. ¿Cuáles son los $P$ -conjuntos nulos de $\mathscr{F}$ ?
3. Enumera todos los subconjuntos de los conjuntos dados en la parte 2.
4. Por definición, la finalización de $\mathscr{F}$ en relación con la medida $P$ es el más pequeño $\sigma$ -que contiene todos los subconjuntos dados en la parte 3, así como $\mathscr{F}$ . ¿Qué es este nuevo $\sigma$ -¿Álgebra?

Answer 2

La finalización del $\sigma$ --álgebra $\mathscr{F}$ definido anteriormente es el $\sigma$ -generada por $$\mathscr{F}\bigcup\big\{\{2\},\{4\},\{6\},\{2,4\},\{2,6\},\{4,6\}\big\}$$

En $\mathbb{P}$ -Los conjuntos nulos son los que aparecen entre paréntesis.