Páginas 134 y 137 de la Geometría Algebraica de Hartshorne.

Question

En la página 134, proposición 6.6 Hartshorne menciona que el tipo 2 es un punto $x \in X $ x $ \mathbb A^1 $ de codimensión uno, cuya imagen en $X$ es el punto genérico de $X$ . Me di cuenta de que este punto $x$ corresponde a un ideal primo $\mathcal p$ de altura uno en Spec $A[t]$ donde Spec $A$ está abierto en $X$ y Spec $A[t]$ es $\pi^{-1} $ (Espec $A$ ). Pero entonces no soy capaz de entender el hecho de que $A[t]_ \mathcal p $ es una localización de $K[t]$ en algún ideal máximo, donde $K$ es el campo de funciones de $X$ . ¿Puede alguien explicarlo?

También en la página 137, al definir $f^*$ ¿es cierto que $v_P$ restringido a $K(Y)^*$ y $v_Q$ tienen el mismo anillo de valoración $\mathcal O_Q$ ?

Answer 1

Para la primera pregunta:

Desde $p$ corresponde al punto genérico de $X$ tenemos $p\cap A = 0$ . Así, en el anillo $A[t]_p$ todos los elementos no nulos de $A$ están invertidos. Por lo tanto, si $S$ denota el conjunto cerrado multiplicativo $A[t]-p$ la inclusión natural $A[t]_p \rightarrow S^{-1}(K[t])$ es un isomorfismo. Dado que $K[t]$ es un UFD, se deduce que $A[t]_p$ es un UFD (véase la pregunta 140584 en este sitio). Concluimos que $A[t]_p$ es un DVR, que es lo que Hartshorne estaba tratando de probar.

Ahora, su pregunta era ¿por qué es $A[t]_p$ en realidad es isomorfo a $K[t]_{p'}$ para algunos $p'$ de altura 1 in $K[t]$ . Para verlo, veamos $f$ en $K[t]$ sea un polinomio irreducible que genera el único ideal primo no nulo de $A[t]_p$ . Despejando denominadores, podemos suponer $f$ está en $p$ en $A[t]$ . Sea $p'$ denota el ideal primo generado por $f$ en $K[t]$ . Entonces, $p'$ contratos a $p$ y de nuevo tenemos un mapa inyectivo natural $A[t]_p \rightarrow K[t]_{p'}$ que de nuevo es un isomorfismo (en realidad es el mismo mapa que antes).