la firma de la topológico colector $M= \mathbb{C}P^6\times \mathbb{C}P^6$ (con homología, cohomology)

Question

Quiero demostrar que la firma de $\operatorname{sig}(M)$ de la topológico colector $M= \mathbb{C}P^6\times \mathbb{C}P^6$ es distinto de cero.

Primero de todo, $M$ es un compacto de 24 dimensiones del colector sin límite y $M$ $\mathbb{Z}$- orientable, porque $H_{24}(M;\mathbb{Z})\neq 0$ (aquí se $H_{24}(M;\mathbb{Z})$ denota la 24 ª singular grupo de homología con coeficientes en $\mathbb{Z}$). Definimos $\operatorname{sig}(M)$ como sigue ( https://en.wikipedia.org/wiki/Signature_%28topology%29) :

Para un $4k$-dimensional $\mathbb{Z}$-orientables compactos colector sin límite de $M$ es la firma de la misma forma bilineal $$H^{2k}(M;\mathbb{R})\otimes _{\mathbb{R} }H^{2k}(M;\mathbb{R})\to \mathbb{R}$$ $$\alpha\otimes \beta \mapsto (\alpha\cup\beta )(\mu_M),$$where $\mu_M\en H_{4k}(M;\mathbb{Z})$ es una orientación.

Ahora $M= \mathbb{C}P^6\times \mathbb{C}P^6$ $4k$- colector con $k=6$ (y los de otras condiciones que se cumplen así, ver arriba), de tal manera que $\operatorname{sig}(M)$ está definido. Tengo dos diferentes appoaches:

1.Ya sé que $\operatorname{sig}(\mathbb{C}P^{2k})=1$ fijo, pero arbitrario $k\in\mathbb{N}$. Puedo deducir de esto que el $\mathbb{C}P^{2\cdot 3}\times \mathbb{C}P^{2\cdot 3}$ tiene un valor distinto de cero de la firma (y es posible determinar que la firma de $M$ exactamente en este caso)? Si sí, ¿cómo hacerlo exactamente?

2.Ya he calculado la homología y cohomology grupos de $M$ con coeficientes en $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ (he utilizado el kuenneth fórmula) , pero creo que esto podría ser una exageración. Y si no he hecho nada malo, $V=H^{12}(M;\mathbb{R})\cong \mathbb{R}^7$ por lo tanto $V$ es un 7-dimensional $\mathbb{R}$-espacio vectorial, yo.e $V$ ha extraña dimensión. Yo diría que a partir de esto puedo concluir que la firma de $M$ es distinto de cero ( pero no estoy seguro), o es malo?

Mejor.

Answer 1

Deje $\alpha$ $\beta$ ser el generador en la segunda cohomology de dos ejemplares de $\mathbb CP^6$, respectivamente. A continuación, $H^{12}(M)$ es generado por $\alpha^0\beta^6, \alpha^1\beta^5\ldots,\alpha^6\beta^0$. En base a la matriz de la copa del producto toma la forma $$\left( \begin{array}{ccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$ Es fácil ejercicio que dicha forma cuadrática tiene la firma de $(4,3)$.

Answer 2

La firma es un anillo homomorphism $\Omega_\ast\to\mathbb{Z}$ en las orientadas Cobordism anillo. En particular, uno puede mostrar que $sig(M\times N) = sig(M)\cdot sig(N)$ es por el uso que a través de los reales de a $H^\ast(M\times N) = H^\ast(M) \otimes H^\ast(N)$ sostiene (producto tensor graduales de anillos conmutativos, es decir,$(a\otimes b)(c\otimes d):=(-1)^{|b| |c|} ac \otimes bd$). $sig(\mathbb{C}P^6\times\mathbb{C}P^6) = 1$ sigue inmediatamente.