Resolver la siguiente ecuación diferencial: $\left(\arctan(xy)+\frac{xy-2xy^{2}}{1+x^{2}y^{2}}\right)dx+\left(\frac{x^{2}-2x^{2}y}{1+x^{2}y^{2}}\right)dy=0$

Question

Este es el problema 9, ejercicio 10 de Tannebaum y Pollard ODE libro. He deducido que la ecuación diferencial es exacta, pero no puedo encontrar todos los integrable combinaciones. Todas las sugerencias que me ayudan a seguir adelante sería genial!

Resolver la siguiente ecuación diferencial: $\left(\arctan(xy)+\frac{xy-2xy^{2}}{1+x^{2}y^{2}}\right)dx+\left(\frac{x^{2}-2x^{2}y}{1+x^{2}y^{2}}\right)dy=0$

Solución.

Tenemos,

$\begin{align} P&=\arctan(xy)+\frac{xy-2xy^{2}}{1+x^{2}y^{2}}\\ \frac{\partial P}{\partial y}&=\frac{x}{1+x^{2}y^{2}}+\left[\frac{(1+x^{2}y^{2})(x-4xy)-(xy-2xy^{2})(2x^{2}y)}{(1+x^{2}y^{2})^{2}}\right]\\ &=\frac{x}{1+x^{2}y^{2}}+\left[\frac{x-4xy+x^{3}y^{2}-4x^{3}y^{3}-2x^{3}y^{2}+4x^{3}y^{3}}{(1+x^{2}y^{2})^{2}}\right]\\ &=\frac{x}{1+x^{2}y^{2}}+\left[\frac{x-4xy-x^{3}y^{2}}{(1+x^{2}y^{2})^{2}}\right]\\ &=\frac{x(1+x^{2}y^{2})+x-4xy-x^{3}y^{2}}{(1+x^{2}y^{2})^{2}}\\ &=\frac{x+x^{3}y^{2}+x-4xy-x^{3}y^{2}}{(1+x^{2}y^{2})^{2}}\\ &=\frac{2x-4xy}{(1+x^{2}y^{2})^{2}}\\ Q&=\frac{x^{2}-2x^{2}y}{1+x^{2}y^{2}}\\ \frac{\partial Q}{\partial x}&=\frac{(1+x^{2}y^{2})(2x-4xy)-(x^{2}-2x^{2}y)(2xy^{2})}{(1+x^{2}y^{2})^{2}}\\ &=\frac{2x-4xy+2x^{3}y^{2}-4x^{3}y^{3}-2x^{3}y^{2}+4x^{3}y^{3}}{(1+x^{2}y^{2})^{2}}\\ &=\frac{2x-4xy}{(1+x^{2}y^{2})^{2}} \end{align}$

Desde $\partial{P}/\partial{y}=\partial{Q}/\partial{x}$, esta es una exacta la ecuación diferencial.

Sabemos que-

$\begin{align} d(x\cdot \arctan(xy))&=\arctan(xy)dx+x\frac{1}{1+x^{2}y^{2}}(xdy+ydx)\\ &=\arctan(xy)dx+\frac{x^{2}dy}{1+x^{2}y^{2}}+\frac{xydx}{1+x^{2}y^{2}} \end{align}$

Yo no soy capaz de encontrar un integrable combinación de los otros dos términos.

Answer 1

Tu solución es buena, aquí es otro enfoque: $$\left(\arctan(xy)+\frac{xy-2xy^{2}}{1+x^{2}y^{2}}\right)dx+\left(\frac{x^{2}-2x^{2}y}{1+x^{2}y^{2}}\right)dy=0$$ $$\arctan(xy)dx +\frac{xy}{1+x^{2}y^{2}}dx +\frac{x^{2}}{1+x^{2}y^{2}}dy -\frac{2xy^{2}}{1+x^{2}y^{2}}dx -\frac{2x^{2}y}{1+x^{2}y^{2}}dy=0$$ $$\arctan(xy)dx +\frac{xy\,dx+x^2\,dy}{1+x^{2}y^{2}} -\frac{2xy^{2}\,dx+2x^{2}y\,dy}{1+x^{2}y^{2}}=0$$ $$\arctan(xy)dx +x\frac{d(xy)}{1+x^{2}y^{2}} -\frac{2xy\,d(xy)}{1+(xy)^{2}}=0$$ $$d(x.\arctan(xy))-\frac{2xy\,d(xy)}{1+(xy)^{2}}=0$$ $$x\arctan(xy)-\ln(1+(xy)^{2})+C=0$$