¿Cómo se hace la extensión por la continuación analítica?

Question

Entiendo que al definir una expresión para que una función sea analítica, podemos extender el rango de la expresión más allá de su rango habitual. Un caso es que una serie que es asintótica a una función definida abstractamente dentro de cierto dominio podría de hecho desviarse fuera de ese dominio mientras la función está todavía definida.

¿Puede la continuación analítica permitirnos extender el rango de una expresión desde un pequeño bloque de dominio y rango conocido hasta un rango y dominio infinito? Si es así, ¿cómo se hace?

¿Podría hacerse sólo mediante simulación por ordenador? ¿O la manipulación algebraica es suficiente? ¿Cuáles son las formas de hacer esto? ¿Podría hacerse a mano en casos especiales? En general, ¿cómo se hace?

Answer 1

Un buen ejemplo de continuación analítica viene dado por la expresión de forma cerrada para una serie geométrica. Consideremos $$ f(z) = \sum_{n = 0}^\infty z^n. $$ A priori, se define en el disco abierto $|z| < 1$ . Sin embargo, sabemos que $g(z) \frac{1}{1 - z}$ es exactamente la función $f(z)$ en este disco, y sin embargo $g$ está definida en todos los números complejos excepto $z = 1$ . Así, $g$ puede considerarse como una extensión analítica de la función original $f$ . Esto amplía nuestra serie original $f$ originalmente definida en el disco unitario abierto, para tener el dominio $\mathbb{C} \setminus \{1\}$ siempre que, fuera del disco, utilicemos la fórmula de $g$ . En particular, hay que tener en cuenta que $f$ no tiene realmente sentido fuera del disco, pero $g$ lo hace.

También puedes buscar la continuación analítica de la función gamma o las funciones Riemann-zeta.