Compactación de un punto de $\Bbb{R}$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $\Bbb{P}^1$ es homeomorfo a la compactación de un punto de $\Bbb{R}$ ? Se me permite suponer que $\Bbb{P}^1$ es Hausdorff.

Gracias.

Answer 1

Definir $f:\mathbb{R}_\infty\to \mathbb{P}^1$ por $t\mapsto [t:1]$ y $\infty \mapsto [1:0]$ . Puede comprobar fácilmente que $f$ es un mapa continuo biyectivo. Dado que $\mathbb{R}_\infty$ es compacto y $\mathbb{P}^1$ Hausdorff debemos tener que $f$ es un mapa cerrado, y por tanto un homeomorfismo.