¿Por qué se preocupan más las funciones de distribución que las variables aleatorias?

Question

Puede que sea un error, pero a menudo he oído decir a algunos que "nos preocupamos sobre todo por los CDF". Asimismo, en los libros de texto se ve $X \sim N(0,1)$ , sin ninguna referencia al espacio de la muestra. Pero, ¿por qué y cómo lo justificamos?

Mis pensamientos: con mis limitados conocimientos en probabilidad, dos resultados:

• Cualquier función de distribución $F:\mathbb{R} \rightarrow [0,1]$ , se obtiene una medida de Lebesgue-Stiltjes $\mu_F$ . Teniendo en cuenta el espacio $(\mathbb{R}, B_{\mathbb{R}}, \mu_F)$ con la variable randon $X$ siendo la identidad, obtenemos, $$P(X \le t ) = \mu((-\infty, t]) = F(t)$$

Esto implica que es suficiente en la especificación de cdf $F$ y decir que existe una RV, $X$ con cdf $F$ .

• (Construcción de Skorokhod, en Williams) Dejemos $F: \mathbb{R} \rightarrow [0,1]$ sea una cdf. $U\sim U[0,1]$ . $$ X^-:= \sup \{ y \in \mathbb{R} \,: \, F(y) < U \} $$ es una RV en $[0,1]$ con la misma distribución que $F$ .

Creo que también hay una generalización a las variables conjuntas.

Pero estos resultados no son satisfactorios, No veo cómo son canónicos .

Answer 1

Debido a la Teorema de existencia de Kolmogorov . Nos dice que dadas unas distribuciones cualesquiera (no definidas de forma tonta), existe un proceso estocástico (en particular, una variable aleatoria) con esas distribuciones.

A menudo no nos importa el espacio de probabilidad real. El objetivo de una variable aleatoria es asignar números a los resultados. Los números reales son más fáciles de tratar que los espacios de probabilidad genéricos. Aunque hay veces que el espacio en sí es importante.

Tomado de Wikipedia:

Dado que las dos condiciones se satisfacen trivialmente para cualquier proceso estocástico, el poder del teorema es que no se requieren otras condiciones: Para cualquier familia razonable (es decir, consistente) de distribuciones de dimensión finita, existe un proceso estocástico con estas distribuciones.

El enfoque teórico de las medidas para los procesos estocásticos comienza con un espacio de probabilidad y define un proceso estocástico como una familia de funciones en este espacio de probabilidad. Sin embargo, en muchas aplicaciones el punto de partida son las distribuciones finito-dimensionales del proceso estocástico. El teorema dice que, siempre que las distribuciones finito-dimensionales satisfagan los requisitos obvios de consistencia, siempre se puede identificar un espacio de probabilidad que se ajuste al propósito. En muchas situaciones, esto significa que uno no tiene que ser explícito sobre cuál es el espacio de probabilidad. Muchos textos sobre procesos estocásticos suponen, de hecho, un espacio de probabilidad, pero nunca indican explícitamente cuál es.

El teorema se utiliza en una de las pruebas estándar de la existencia de un movimiento browniano, especificando que las distribuciones de dimensión finita son variables aleatorias gaussianas, que satisfacen las condiciones de consistencia anteriores. Como en la mayoría de las definiciones del movimiento browniano, se requiere que las trayectorias de la muestra sean continuas casi con seguridad, y se utiliza entonces el teorema de continuidad de Kolmogorov para construir una modificación continua del proceso construido por el teorema de extensión de Kolmogorov.