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Topos de Schanuel: cobertura de singletons frente a topología atómica

He visto dos definiciones diferentes del topos Schanuel:

  1. Topos de gavillas en $\mathbf{FinSet}_{\mathsf{mono}}^{\mathsf{op}}$ con la topología atómica (todos los tamices no vacíos cubren)

  2. Topos de gavillas en $\mathbf{FinSet}_{\mathsf{mono}}^{\mathsf{op}}$ con la cobertura del singleton

¿Son estas definiciones de alguna manera equivalentes?

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¿A qué se refiere con la cobertura del singleton?

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@DavidRoberts Creo que lo que se quiere decir es que las familias de cobertura se generan a partir de morfismos simples. Tal vez lo que ocurre aquí es que la "cobertura única" se convierte en la "topología atómica" cuando se pasa de coberturas a topologías de Grothendieck?

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Jonas Frey Puntos 36

La topología atómica es generada por la cobertura singleton en el sentido de que un tamiz es no vacío si contiene un subtamiz que es generado por una sola flecha (tome cualquier flecha f en S, y cierre {f} bajo precomposición).

En general, dada una cobertura (=conjunto de familias de cobertura) sobre una categoría, la topología de Grothendieck generada es la topología más pequeña que contiene todos los tamices generados por las familias de cobertura. Dado que las topologías son cerradas hacia arriba bajo inclusión, la topología generada contiene en particular todos los tamices que son superconjuntos de familias de cobertura. Así, la topología atómica es generada por la cobertura de los singletons simplemente porque contiene precisamente todos los tamices que son superconjuntos de los singletons.

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¡Ah, esto tiene sentido! ¡Muchas gracias, Jonas!

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