Encontrar $\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{1/x} - e}{x}$

Question

Encontrar $$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{1/x} - e}{x}$$.

Traté de aplicar la regla de L'Hospital, pero tenía dificultad con la que derivan $(1+x)^{1/x}$, y me pareció que es probable que haya una solución más elegante que el horrible derivados WolframAlpha dio (que no era útil, como la derivada contenida $\frac{1}{x}$ como un exponente). Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Primera $(u^v)'=vu^{v-1}+u^v v'\ln u$. Siguiente, cuando la aplicación de la regla de LHopital el factor de que no se convierta en cero puede ser reemplazado por su valor (esto hace que la aplicación sea un poco más fácil). Ahora

${((1+x)^{1/x}-e)'\over {x'}}= { (1+x)^{1/x} [ {1\over{x(1+x)}}-{{\ln(1+x)}\over{x^2}}}] $. El primer factor convertido $*e*$. El segundo factor se convierte en ${x-(1+x)\ln(1+x)}\over{x^2(1+x)}$. La aplicación de Lhopital a éste le da ${-\ln(1+x)}\over{(x+2)(x+1) x}$. Como $x\to 0$ el factor de $1\over{(x+2)(x+1)}$ se sitúa alrededor de $*1/2*$ y necesitamos encontrar a $-\ln(1+x)\over x$ que otra aplicación de LHopital reduce a $-1\over{1+x}$, lo que tiende a $*-1*$. Así que la respuesta final es el producto de la asterisco cantidades, es decir, $-e/2$

Answer 2

Basta con aplicar l'Hôpital. La expresión $(1 + x)^{1/x}$ puede ser escrita: $$ (1 + x)^{1/x} = \exp\left( \frac{1}{x} \ln (1 + x) \right) $$ Que no es demasiado difícil de manejar.