Cambio de variables y la derivada parcial

Question

De vez en cuando, me confundo con un cambio de variables en una derivada parcial.

Aquí, estoy tratando de realizar un cambio de variables $(x,t) \mapsto (\xi, \eta)$ donde

$$\xi = t \qquad \qquad \text{and} \qquad \qquad \eta = x+t$$

La cuestión es cómo calcular $$\frac{\partial u}{\partial t}$$ en el nuevo sistema de coordenadas?

Intuitivamente, ya que $\xi = t$ (o más bien $t=\xi$ ), deberíamos tener

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \xi}$$

Sin embargo, aplicando la regla de la cadena para las derivadas parciales, obtenemos en cambio

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \xi}(1) + \frac{\partial u}{\partial \eta}(1) = \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta}$$

Entonces, ¿cuál es la correcta?

Answer 1

La segunda es correcta. ¿Por qué la otra es incorrecta? Bueno, cuando se escribe $$\frac{\partial u}{\partial \xi}$$ lo que realmente está diciendo es $$\frac{\partial u}{\partial \xi}{\huge|}_\eta$$ es decir, tomando la derivada con respecto a $\xi$ , pero manteniendo $\eta$ arreglado. Si hacemos esto, nos estamos limitando al camino $x=-t$ , donde $t$ varía. Pero queríamos representar $$\frac{\partial u}{\partial t}{\huge|}_x$$ con un fijo $x$ . Así que esta expresión no expresa la misma cantidad. El uso de la regla de la cadena sirve para que no se produzca este error.

Answer 2

Lo que sigue no es sólo la forma correcta de tratar esta cuestión (la mayoría de las veces se recurre a lo que para mí son confusos abusos notacionales y artefactos de una época en la que era difícil ser un poco más riguroso), sino que es un esbozo de la respuesta que me gustaría que se diera.

Para simplificar, en lo que sigue sólo consideraré los espacios enteros como dominios, pero se puede generalizar a cualquier subconjunto abierto de estos espacios.

Teorema. Dejemos que $m, n$ y $p$ sean números naturales, y $F\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m$ y $G\colon\mathbb R^m\to \mathbb R^p$ funciones diferenciables. Si $H=G\circ F$ entonces $H$ es diferenciable y para todo $X$ en $\mathbb R^n$ sostiene que $$(DH)_X=(DG)_{F(X)}(DF)_X \tag 1$$

Teniendo en cuenta que $F, G$ y $H$ puede escribirse como $$ F=(f_1, \ldots, f_m),\\ G=(g_1, \ldots, g_p),\\ H=(h_1, \ldots , h_p) $$ donde:

• $f_1, \ldots, f_m$ son funciones reales cuyo dominio es $\mathbb R^n$ y cuyas derivadas parciales existen todas,
• $g_1, \ldots, g_p$ son funciones reales cuyo dominio es $\mathbb R^m$ y cuyas derivadas parciales existen todas,
• $h_1, \ldots, h_p$ son funciones reales cuyo dominio es $\mathbb R^n$ y cuyas derivadas parciales existen todas,

$(1)$ puede reescribirse como

$$ \begin{bmatrix} \partial _1h_1 & \ldots & \partial_nh_1\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \partial_1h_p & \ldots & \partial_nh_p \end{bmatrix}_X = \begin{bmatrix} \partial _1g_1 & \ldots & \partial_mg_1\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \partial_1g_p & \ldots & \partial_mg_p \end{bmatrix}_{F(X)} \begin{bmatrix} \partial _1f_1 & \ldots & \partial_nf_1\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \partial_1f_m & \ldots & \partial_nf_m \end{bmatrix}_X \tag{2} $$

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Con esta formulación de este teorema estándar, todo lo que queda es mirar el problema a través de esta lente.

Según entiendo tienes una función diferenciable $u\colon \mathbb R^2\to \mathbb R$ una función $\varphi \colon \mathbb R^2\to\mathbb R^2, (x,t)\mapsto (t, x+t)$ (que también es diferenciable) y se le pide que encuentre $\partial _2(u\circ \varphi)$ .

Ahora es fácil. En la notación anterior tenemos $m=2=n$ , $p=1$ , $G=u$ , $F=\varphi$ , $f_1\colon \mathbb R^2\to \mathbb R, (x,t)\mapsto t$ y $f_2\colon \mathbb R^2\to \mathbb R, (x,t)\mapsto x+t$ . Establecer $H=u\circ \varphi$ y concluir que para todo $(x,t)$ en $\mathbb R^2$ sostiene que $$ \begin{align} \begin{bmatrix} \partial _1h_1 & \partial_2h_1 \end{bmatrix}_{(x,t)} &= \begin{bmatrix} \partial _1u & \partial_2u \end{bmatrix}_{F(x,t)} \begin{bmatrix} \partial _1f_1 & \partial_2f_1\\ \partial_1f_2 & \partial_2f_2 \end{bmatrix}_{(x,t)}\\ &= \begin{bmatrix} \left(\partial _1u\right)(t,x+t) & \left(\partial_2u\right)(t,x+t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0& 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \left(\partial _2u\right)(t,x+t) & \left(\partial _1u\right)(t,x+t)+\left(\partial_2u\right)(t,x+t) \end{bmatrix}_. \end{align} $$

Answer 3

Considere $u(x,t)=x^2+t^2$ y $\xi=t, \eta=x+t$ .

Entonces: $u(\xi(x,t),\eta(x,t))=(\eta-\xi)^2+\xi^2$ . Lo conseguimos: $$u_t=2(\eta-\xi)\cdot (\eta_t-\xi_t)+2\xi\cdot \xi_t=\\ 2(x+t-t)\cdot (1-1)+2t\cdot 1=\\ 2t,$$ lo cual es cierto: $$u_t=(x^2+t^2)_t=2t.$$