La probabilidad de que ningún coche está aparcado al lado de un coche del mismo tipo

Question

Una universidad, las facultades han de 30 coches de exactamente 3 tipos: BMW, Toyota y Mazda. La universidad ha de construir un nuevo aparcamiento, que cuenta con 30 cajones de estacionamiento. Cada miembro de la facultad al azar llega a la playa de estacionamiento hasta las 11:00 AM y aparca su coche en cualquier ranura disponible. ¿Cuál es la probabilidad de que a las 11:00 AM de cada plaza de aparcamiento que tiene diferente tipo de coche junto a él?(Que no es BMW, junto a un BMW y Toyota no está junto a un Toyota y Mazda no es junto a un Mazda) Mi intento de resolver esto:

number of elements in Sample Space
  = number of arrangements of 30 cars in 30 slots
  = 30(Permutation)30
  = 265252859812191058636308480000000

Yo simplemente no poder contar mis eventos es decir, cada plaza de aparcamiento que tiene diferente tipo de coche junto a él. ¿Qué debo hacer?

Answer 1

Mi humilde tratar:

Vamos a crear 30 puntos 1 2 3 4 .... 30. La asunción es que cada punto puede ser llenado junto con cualquiera de los tres tipos de autos de igual probabilidad.

La probabilidad de que cualquiera de los tres coches podría ser el elegido para el 1er lugar es $=\frac{1}{3}$

Entonces la probabilidad de que el segundo lugar está lleno de coche que no es el anterior = $=\frac{2}{3}$. Habiendo ocupado los dos primeros lugares. La probabilidad de que el resto de los spots serán llenadas de uno que no es el mismo que el anterior es igual a $=\frac{2}{3}$

Así es $=\frac{1}{3}\frac{2}{3}\cdots \frac{2}{3}$ que es un $\frac{1}{3}$ y el 29 $\frac{2}{3}$'s . Este 1/3 podría ser colocado en 10 diferentes maneras.

Por lo tanto la probabilidad de que no hay dos coches adyacentes son iguales es =

$$\frac{2^{29}}{3^{30}}.10 = 0.000026075 $$

Answer 2

Primero nos cuente el número de $N$ admisible cadenas que contengan $10$ cada uno de $B$, $M$, $T$. Un tercio de estas cadenas comienza con un $B$. Cadenas de este tipo tienen una de las dos formas $${\rm (a)}\quad Bw_1Bw_2\ldots Bw_{10},\qquad{\rm(b)}\quad Bw_1Bw_2\ldots Bw_{9}B\ ,$$ whereby the subwords $w_i$ are nonempty and consist of alternating $M$'s and $T$s'.

(a) Suponga que $r$ subpalabras $w_i$ contener al menos una letra $M$ (estos $w_i$ puede ser elegido en ${10\choose r}$ formas), mientras que el resto de $w_i$ consta de una sola $T$. Hay $10-r$ cartas de $M$ a la izquierda para distribuir entre los $r$ escogido $w_i$, y esto se puede hacer en ${10-r+r-1\choose r-1}={9\choose r-1}$ maneras. Cada una de estas tirado en $M$'s tiene que ser precedido por un $T$ a fin de separar de la anterior $M$. Además tenemos $10-r$ más letras de $T$ para el resto de las $w_i$. En todo lo que ahora han utilizado todas las $B$'s y $M$'s, y $(10-r)+(10-r )=20-2r$ de la $T$'s, por lo que el $2r-10$ cartas de $T$ quedan para ser distribuidos (por supuesto, esto exige $r\geq5$). Estos $T$'s puede ser colocado en la cabeza o la cola de un $w_i$ ya que contenga $M$'s, por lo tanto, hay $2r$ ranuras para estos $T$. De ello se sigue que podemos coloque el resto de las $T$'s ${2r\choose2r-10}$ maneras. El número total $N_a$ de cadenas de tipo (a) está dada por $$N_a=\sum_{r=5}^{10}{10\choose r}{9\choose r-1}{2r\choose 2r-10}=28\,964\,128\ .$$ (b) Suponga que $r$ subpalabras $w_i$ contener al menos una letra $M$ (estos $w_i$ puede ser elegido en ${9\choose r}$ formas), mientras que el resto de $w_i$ consta de una sola $T$. Hay $10-r$ cartas de $M$ a la izquierda para distribuir entre los $r$ escogido $w_i$, y esto se puede hacer en ${10-r+r-1\choose r-1}={9\choose r-1}$ maneras. Cada una de estas tirado en $M$'s tiene que ser precedido por un $T$ a fin de separar de la anterior $M$. Además tenemos $9-r$ más letras de $T$ para el resto de las $w_i$. En todo lo que ahora han utilizado todas las $B$'s y $M$'s, y $(10-r)+(9-r )=19-2r$ de la $T$'s, por lo que el $2r-9$ cartas de $T$ quedan para ser distribuidos (por supuesto, esto exige $r\geq5$). Estos $T$'s puede ser colocado en la cabeza o la cola de un $w_i$ ya que contenga $M$'s, por lo tanto, hay $2r$ ranuras para estos $T$'s. De ello se sigue que podemos coloque el resto de las $T$'s ${2r\choose 2r-9}$ maneras. El número total $N_b$ de cadenas de tipo (b) está dada por $$N_b=\sum_{r=5}^{9}{9\choose r}{9\choose r-1}{2r\choose 2r-9}=12\,685\,428\ .$$ De esta manera se obtiene $$N=3(N_a+N_b)=124\,948\,668\ .$$ La probabilidad de $p$ en la pregunta por lo tanto, se calcula a $$p={N (10!)^3\más 30!}={800\,953\over35\,583\,312\,765}\doteq0.0000225092 \ .$$ Conteo de 250 días de trabajo por año, esto significa que se podría esperar que en un evento de estos, cada 177.7 años.